两艘船从相反的方向驶向海上的一座灯塔。从两艘船上看灯塔顶部的仰角分别为\( 30^{\circ} \)和\( 45^{\circ} \)。如果两艘船之间的距离为\( 100 \mathrm{~m} \)，求灯塔的高度。

已知

两艘船从相反的方向驶向海上的一座灯塔。

从两艘船上看灯塔顶部的仰角分别为\( 30^{\circ} \)和\( 45^{\circ} \)。

两艘船之间的距离为\( 100 \mathrm{~m} \)。

要求

我们必须找到灯塔的高度。

解答

设 $C$ 和 $D$ 为两艘船，$AB$ 为灯塔，其高度为 $h\ m$。

设船 $C$ 与灯塔之间的距离为 $x$ 米，则另一艘船与灯塔的距离为 $(100-x)\ m$。 

在直角三角形 $\vartriangle BAD$ 中，我们有 

$tan\ 45^{o}=\frac{AB}{AD}$

$\Rightarrow 1=\frac{h}{100-x}$

$\Rightarrow 100-x=h\ m$

$\Rightarrow x=100-h\ m$......(i)

在直角三角形 $\vartriangle BAC$ 中，

$tan\ 30^{o}=\frac{AB}{AC}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{h}{100-h}$                   [根据 (i)]

$\Rightarrow 100-h=h\sqrt3$

$h(\sqrt3+1)=100$

$\Rightarrow h=\frac{100}{\sqrt3+1}$

$\Rightarrow h=\frac{100(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt3-1)}$

$\Rightarrow h=\frac{100(\sqrt3-1)}{3-1)}$

$\Rightarrow h=50(\sqrt3-1)$

因此，灯塔的高度约为 $50(\sqrt3-1)\ m$。 

教程点

更新于: 2022年10月10日

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