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法律研究从山顶上，观察到正东方向的两块相邻的千米路标的俯角分别为 \( 30^{\circ} \) 和 \( 45^{\circ} \)。求这两块路标到山脚的距离。
已知
从山顶上，观察到两个连续千米路标的俯角为
45°和 30°
求：
这两块路标到山脚的距离。
解
山高 AB = h
距离 BC = x km
距离 CD = 1 km
在 ABC 中 $$\displaystyle tan\ \theta \ =\ \frac{对边}{邻边} \ $$
$$\displaystyle tan\ 45=\ \frac{h}{x} \ $$ (tan 45° = 1)
$$\displaystyle 1\ =\ \frac{h}{x}$$
h = x .....................................................(i)
在 ABD 中
$$\displaystyle tan\ 30\ =\ \frac{h}{x\ +\ 1} \ $$
$$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \ =\ \frac{h}{x\ +\ 1} \ $$
交叉相乘，
$$\displaystyle x\ +\ 1\ =\ \sqrt{3} h$$
改写，
$$\displaystyle \ \sqrt{3} h\ =\ x\ +\ 1\ ...........................................( ii)$$
将 (i) 代入 (ii)
$$\displaystyle \ \sqrt{3} \ x\ =\ x\ +\ 1\ $$
$$\displaystyle \ \sqrt{3} \ x\ -\ x\ =\ 1\ $$
提取 x 为公因数，
$$\displaystyle x\ \left(\sqrt{3} \ -\ 1\right) \ =\ 1$$
$$\displaystyle x\ =\ \frac{1}{\sqrt{3} \ -\ 1}$$
取共轭，
$$\displaystyle x\ =\ \frac{1}{\sqrt{3} \ -\ 1} \ \times \frac{\sqrt{3} \ +\ 1}{\sqrt{3} \ +\ 1}$$
$$\displaystyle x\ =\ \frac{\sqrt{3} \ +\ 1}{\left(\sqrt{3} \ \ \right)^{2} -\ ( 1)^{2}}$$
$$\displaystyle x\ =\ \frac{\sqrt{3} \ +\ 1}{3\ -\ 1}$$
$$\displaystyle x\ =\ \frac{\sqrt{3} \ +\ 1}{2}$$
√3 = 1.732
$$\displaystyle x\ =\ \frac{\ 1.732+\ 1}{2}$$
$$\displaystyle x\ =\ \frac{\ 2.732}{2}$$
x = 1.366
距离 BC = 1.366 km
第一个路标到山脚的距离 = 1.366 km
第二个路标到山脚的距离
$$\displaystyle BD\ =\ BC\ +\ CD$$
$$\displaystyle BD\ =\ 1.366\ +\ 1$$
距离 = 2.366 km
第二个路标到山脚的距离 = 2.366 km
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