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法律研究从河上的一座桥上的一点，观察到河对岸两岸的俯角分别为\( 30^{\circ} \)和\( 45^{\circ} \)。如果桥离河岸的高度为\( 30 \mathrm{~m} \)，求河流的宽度。
已知
从河上的一座桥上的一点，观察到河对岸两岸的俯角分别为\( 30^{\circ} \)和\( 45^{\circ} \)。
桥离河岸的高度为\( 30 \mathrm{~m} \)。
要求
我们需要求出河流的宽度。
解答：
设$AB$为桥的高度，$C, D$为河对岸两岸的俯角点。
从图中，
$\mathrm{AB}=30 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{FAD}=\angle \mathrm{ADB}=30^{\circ}, \angle \mathrm{EAC}=\angle \mathrm{BCA}=45^{\circ}$
设桥与点$C$之间的距离为$\mathrm{BC}=x \mathrm{~m}$，桥与点$D$之间的距离为$\mathrm{BD}=y \mathrm{~m}$。
我们知道，
$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$
$=\frac{\text { AB }}{BC}$
$\Rightarrow \tan 45^{\circ}=\frac{30}{x}$
$\Rightarrow 1=\frac{30}{x}$
$\Rightarrow x=30 \mathrm{~m}$.........(i)
类似地，
$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$
$=\frac{\text { AB }}{BD}$
$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{30}{y}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{30}{y}$
$\Rightarrow y=30\sqrt3 \mathrm{~m}$..........(ii)
$\Rightarrow x+y=30+30\sqrt3=30(\sqrt3+1) \mathrm{~m}$
因此，河流的宽度为 $30(\sqrt3+1) \mathrm{~m}$。
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