从河上的一座桥上的一点，观察到河对岸两岸的俯角分别为$30^{\circ}$和$45^{\circ}$。如果桥离河岸的高度为$30 \mathrm{~m}$，求河流的宽度。

已知

从河上的一座桥上的一点，观察到河对岸两岸的俯角分别为$30^{\circ}$和$45^{\circ}$。

桥离河岸的高度为$30 \mathrm{~m}$。

要求

我们需要求出河流的宽度。

解答：  

设$AB$为桥的高度，$C, D$为河对岸两岸的俯角点。

从图中，

$\mathrm{AB}=30 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{FAD}=\angle \mathrm{ADB}=30^{\circ}, \angle \mathrm{EAC}=\angle \mathrm{BCA}=45^{\circ}$

设桥与点$C$之间的距离为$\mathrm{BC}=x \mathrm{~m}$，桥与点$D$之间的距离为$\mathrm{BD}=y \mathrm{~m}$。

我们知道，

$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$

$=\frac{\text { AB }}{BC}$

$\Rightarrow \tan 45^{\circ}=\frac{30}{x}$

$\Rightarrow 1=\frac{30}{x}$

$\Rightarrow x=30 \mathrm{~m}$.........(i)

类似地，

$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$

$=\frac{\text { AB }}{BD}$

$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{30}{y}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{30}{y}$           

$\Rightarrow y=30\sqrt3 \mathrm{~m}$..........(ii)

$\Rightarrow x+y=30+30\sqrt3=30(\sqrt3+1) \mathrm{~m}$            

因此，河流的宽度为 $30(\sqrt3+1) \mathrm{~m}$。  

教程点

更新于： 2022年10月10日

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