两根等高杆子直立在道路两侧，彼此相对，道路宽度为 $80 \mathrm{~m}$。在道路上的两者之间一点处，两根杆子顶部的仰角分别为$60^{\circ}$和$30^{\circ}$。求这两根杆子的高度以及该点到这两根杆子的距离。

已知

两根等高杆子直立在道路两侧，彼此相对，道路宽度为 $80 \mathrm{~m}$。

在道路上的两者之间一点处，两根杆子顶部的仰角分别为$60^{\circ}$和$30^{\circ}$。 

待解决问题

我们必须求出这两根杆子的高度以及该点到这两根杆子的距离。

解答：  

令 $AB$ 和 $CD$ 分别为两根杆子的高度，$BD$ 为道路宽度。

令 $O$ 为观察点。

从图中可知，

$\mathrm{BD}=80 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{AOB}=60^{\circ}, \angle \mathrm{COD}=30^{\circ}$。

令杆子高度为 $\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=h \mathrm{~m}$，点 $O$ 到点 $B$ 之间的距离为 $\mathrm{BO}=x \mathrm{~m}$，点 $O$ 到点 $D$ 之间的距离为 $\mathrm{OD}=80-x \mathrm{~m}$。

我们知道，

$\tan \theta=\frac{\text{ 对边 }}{\text{ 邻边 }}$

$={\frac{\text{AB}}{\mathrm{OB}}}$

$\Rightarrow \tan 60^{\circ}=\frac{h}{x}$

$\Rightarrow \sqrt3=\frac{h}{x}$

$\Rightarrow h=x\sqrt3 \mathrm{~m}$.........(i)

类似地，

$\tan \theta=\frac{\text{ 对边 }}{\text{ 邻边 }}$

$=\frac{\text{CD}}{\mathrm{OD}}$

$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{h}{80-x}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{h}{80-x}$           

$\Rightarrow h=\frac{80-x}{\sqrt3} \mathrm{~m}$..........(ii)

从 (i) 和 (ii) 中，我们得出，

$\Rightarrow x\sqrt3=\frac{80-x}{\sqrt3} \mathrm{~m}$     

$\Rightarrow (x\sqrt3)\sqrt3=80-x \mathrm{~m}$

$\Rightarrow 3x+x=80 \mathrm{~m}$

$\Rightarrow x=\frac{80}{4} \mathrm{~m}$

$\Rightarrow x=20 \mathrm{~m}$

$\Rightarrow 80-x=80-20=60 \mathrm{~m}$

$\Rightarrow h=20\sqrt3 \mathrm{~m}$

因此，电线杆的高度为$20\sqrt3 \mathrm{~m}$，点到两根电线杆的距离分别为$20 \mathrm{~m}$和$60 \mathrm{~m}$。   

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更新于：10-Oct-2022

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