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法律学一个人坐在河中间一个小岛上的一棵高树上，高度为\( 20 \mathrm{~m} \)，观察到河两岸的两个杆子，这两个杆子正好在树脚下对面的位置并且与树干在一条直线上。如果从这个人坐在树上的位置观察这两个杆子的底部的俯角分别为\( 60^{\circ} \)和\( 30^{\circ} \)。求这条河的宽度。
已知
一个人坐在河中间一个小岛上的一棵高树上，高度为\( 20 \mathrm{~m} \)，观察到河两岸的两个杆子，这两个杆子正好在树脚下对面的位置并且与树干在一条直线上。
如果从这个人坐在树上的位置观察这两个杆子的底部的俯角分别为\( 60^{\circ} \)和\( 30^{\circ} \)。
要求
我们需要求出这条河的宽度。
解：
设树的高度为$AB$，河对岸两岸的点为$C, D$。
从图中可知，
$\mathrm{AB}=20 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{ACB}=60^{\circ}, \angle \mathrm{ADB}=30^{\circ}$
设树与点$C$之间的距离为$\mathrm{BC}=x \mathrm{~m}$，树与点$D$之间的距离为$\mathrm{BD}=y \mathrm{~m}$。
我们知道，
$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$
$=\frac{\text { AB }}{BC}$
$\Rightarrow \tan 60^{\circ}=\frac{20}{x}$
$\Rightarrow \sqrt3=\frac{20}{x}$
$\Rightarrow x=\frac{20}{\sqrt3} \mathrm{~m}$.........(i)
类似地，
$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$
$=\frac{\text { AB }}{BD}$
$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{20}{y}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{20}{y}$
$\Rightarrow y=20\sqrt3 \mathrm{~m}$..........(ii)
$\Rightarrow x+y=\frac{20}{\sqrt3}+20\sqrt3 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x+y=\frac{20+20(3)}{\sqrt3} \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x+y=\frac{80}{\sqrt3} \mathrm{~m}$
因此，河的宽度为 $\frac{80}{\sqrt3} \mathrm{~m}$。
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