一个人坐在河中间一个小岛上的一棵高树上，高度为$20 \mathrm{~m}$，观察到河两岸的两个杆子，这两个杆子正好在树脚下对面的位置并且与树干在一条直线上。如果从这个人坐在树上的位置观察这两个杆子的底部的俯角分别为$60^{\circ}$和$30^{\circ}$。求这条河的宽度。

已知

一个人坐在河中间一个小岛上的一棵高树上，高度为$20 \mathrm{~m}$，观察到河两岸的两个杆子，这两个杆子正好在树脚下对面的位置并且与树干在一条直线上。

如果从这个人坐在树上的位置观察这两个杆子的底部的俯角分别为$60^{\circ}$和$30^{\circ}$。

要求

我们需要求出这条河的宽度。

解：  

设树的高度为$AB$，河对岸两岸的点为$C, D$。

从图中可知，

$\mathrm{AB}=20 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{ACB}=60^{\circ}, \angle \mathrm{ADB}=30^{\circ}$

设树与点$C$之间的距离为$\mathrm{BC}=x \mathrm{~m}$，树与点$D$之间的距离为$\mathrm{BD}=y \mathrm{~m}$。

我们知道，

$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$

$=\frac{\text { AB }}{BC}$

$\Rightarrow \tan 60^{\circ}=\frac{20}{x}$

$\Rightarrow \sqrt3=\frac{20}{x}$

$\Rightarrow x=\frac{20}{\sqrt3} \mathrm{~m}$.........(i)

类似地，

$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$

$=\frac{\text { AB }}{BD}$

$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{20}{y}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{20}{y}$           

$\Rightarrow y=20\sqrt3 \mathrm{~m}$..........(ii)

$\Rightarrow x+y=\frac{20}{\sqrt3}+20\sqrt3 \mathrm{~m}$            

$\Rightarrow x+y=\frac{20+20(3)}{\sqrt3} \mathrm{~m}$      

$\Rightarrow x+y=\frac{80}{\sqrt3} \mathrm{~m}$      

因此，河的宽度为 $\frac{80}{\sqrt3} \mathrm{~m}$。  

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更新时间： 2022年10月10日

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