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法学一条笔直的公路通向一座高\( 50 \mathrm{~m} \)塔的脚下。从塔顶观察，停在公路上两辆车的俯角分别为\( 30^{\circ} \)和\( 60^{\circ} \)。求两车之间的距离以及每辆车到塔的距离。
已知
一条笔直的公路通向一座高\( 50 \mathrm{~m} \)塔的脚下。
从塔顶观察，停在公路上两辆车的俯角分别为\( 30^{\circ} \)和\( 60^{\circ} \)。
要求
我们需要求出两车之间的距离以及每辆车到塔的距离。
解：
设AB为塔高，C、D为两车所在点，其俯角分别为\( 30^{\circ} \)和\( 60^{\circ} \)。
由图可知：
$\mathrm{AB}=50 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{BCA}=30^{\circ}, \angle \mathrm{BDA}=60^{\circ}$
设车C到塔底的距离为$\mathrm{AC}=x \mathrm{~m}$，两车C和D之间的距离为$\mathrm{CD}=y \mathrm{~m}$。
这意味着：
$\mathrm{DA}=x-y \mathrm{~m}$
我们知道：
$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$
$=\frac{\text { AB }}{AC}$
$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{50}{x}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{50}{x}$
$\Rightarrow x=50\sqrt3=50(1.73)=86.5 \mathrm{~m}$..........(i)
同样地：
$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$
$=\frac{\text { AB }}{DA}$
$\Rightarrow \tan 60^{\circ}=\frac{50}{x-y}$
$\Rightarrow \sqrt3=\frac{50}{50\sqrt3-y}$ [由(i)式]
$\Rightarrow (50\sqrt3-y)\sqrt3=50 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow 50(3)-y\sqrt3=50 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow y\sqrt3=100 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow y=\frac{100}{1.73} \mathrm{~m}$
$\Rightarrow y=57.67 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x-y=50(1.73)-57.67=86.6-57.67=28.83 \mathrm{~m}$
因此，两车之间的距离为$57.67 \mathrm{~m}$，每辆车到塔的距离分别为$86.6 \mathrm{~m}$和$28.83 \mathrm{~m}$。
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