一条笔直的公路通向一座高$50 \mathrm{~m}$塔的脚下。从塔顶观察，停在公路上两辆车的俯角分别为$30^{\circ}$和$60^{\circ}$。求两车之间的距离以及每辆车到塔的距离。

已知

一条笔直的公路通向一座高$50 \mathrm{~m}$塔的脚下。

从塔顶观察，停在公路上两辆车的俯角分别为$30^{\circ}$和$60^{\circ}$。

要求

我们需要求出两车之间的距离以及每辆车到塔的距离。

解：

设AB为塔高，C、D为两车所在点，其俯角分别为$30^{\circ}$和$60^{\circ}$。

由图可知：

$\mathrm{AB}=50 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{BCA}=30^{\circ}, \angle \mathrm{BDA}=60^{\circ}$

设车C到塔底的距离为$\mathrm{AC}=x \mathrm{~m}$，两车C和D之间的距离为$\mathrm{CD}=y \mathrm{~m}$。

这意味着：

$\mathrm{DA}=x-y \mathrm{~m}$

我们知道：

$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$

$=\frac{\text { AB }}{AC}$

$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{50}{x}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{50}{x}$

$\Rightarrow x=50\sqrt3=50(1.73)=86.5 \mathrm{~m}$..........(i)

同样地：

$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$

$=\frac{\text { AB }}{DA}$

$\Rightarrow \tan 60^{\circ}=\frac{50}{x-y}$

$\Rightarrow \sqrt3=\frac{50}{50\sqrt3-y}$                          [由(i)式]

$\Rightarrow (50\sqrt3-y)\sqrt3=50 \mathrm{~m}$

$\Rightarrow 50(3)-y\sqrt3=50 \mathrm{~m}$

$\Rightarrow y\sqrt3=100 \mathrm{~m}$

$\Rightarrow y=\frac{100}{1.73} \mathrm{~m}$

$\Rightarrow y=57.67 \mathrm{~m}$

$\Rightarrow x-y=50(1.73)-57.67=86.6-57.67=28.83 \mathrm{~m}$

因此，两车之间的距离为$57.67 \mathrm{~m}$，每辆车到塔的距离分别为$86.6 \mathrm{~m}$和$28.83 \mathrm{~m}$。

教程点

更新于：2022年10月10日

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