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法律研究一座塔的两点\( A \)和\( B \)位于塔的同一侧，并且与塔底在同一条直线上。从塔顶观察这两个点的俯角分别为\( 60^{\circ} \)和\( 45^{\circ} \)。如果塔高为\( 15 \mathrm{~m} \)，则求这两点之间的距离。
已知
两点\( A \)和\( B \)位于塔的同一侧，并且与塔底在同一条直线上。
从塔顶观察这两个点的俯角分别为\( 60^{\circ} \)和\( 45^{\circ} \)。
塔高为\( 15 \mathrm{~m} \)。
要求
我们需要求出这两点之间的距离。
解：
设 $CD$ 为塔高，$A, B$ 为俯角分别为\( 60^{\circ} \)和\( 45^{\circ} \)的两点。
从图中可以看出，
$\mathrm{CD}=15 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{DAC}=60^{\circ}, \angle \mathrm{DBC}=45^{\circ}$
设点 $A$ 与塔底之间的距离为 $\mathrm{AC}=x \mathrm{~m}$，点 $B$ 与塔底之间的距离为 $\mathrm{BC}=y \mathrm{~m}$。
这意味着，
$\mathrm{BC}=y-x \mathrm{~m}$
我们知道，
$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$
$=\frac{\text { DC }}{BC}$
$\Rightarrow \tan 45^{\circ}=\frac{15}{y}$
$\Rightarrow 1=\frac{15}{y}$
$\Rightarrow y=15 \mathrm{~m}$..........(i)
类似地，
$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$
$=\frac{\text { DC }}{AC}$
$\Rightarrow \tan 60^{\circ}=\frac{15}{x}$
$\Rightarrow \sqrt3=\frac{15}{x}$
$\Rightarrow x=\frac{15}{\sqrt3} \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x=\frac{5\sqrt3(\sqrt3)}{\sqrt3} \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x=5(1.732) \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x=8.66 \mathrm{~m}$........(ii)
从 (i) 和 (ii) 可以得到，
$y-x=15-8.66 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow y-x=6.34 \mathrm{~m}$
因此，这两点之间的距离为 $6.34 \mathrm{~m}$。
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