从塔底同一水平线上两点分别距塔底\( 4 \mathrm{~m} \)和\( 9 \mathrm{~m} \)处测得塔顶的仰角互余。证明塔高为\( 6 \mathrm{~m} \)。

已知

从塔底同一水平线上两点分别距塔底 $4\ m$ 和 $9\ m$ 处测得塔顶的仰角互余。

要求：

我们必须证明塔高为 $6\ m$。

解答

设 $\angle BDA=\theta , \angle BCA=90^{o} -\theta$。

$\angle BDA+\angle BCA=90^{o}$   (已知)

在 $\vartriangle BCA$ 中

$tan 90^{o}-\theta =\frac{AB}{AC}=\frac{AB}{4}$

$\Rightarrow AB=4cot \theta$............(i)               [因为 $tan 90^{o}-\theta=cot \theta$]

在 $\vartriangle BDA$ 中

$tan( 90^{o} -\theta ) =\frac{AB}{DA} =\frac{AB}{9}$

$\Rightarrow AB=9tan \theta$..............(ii)

将 $( 1)$ 和 $( 2)$ 相乘

$AB^{2} =4cot \theta \times 9tan \theta =36$     ($tan \theta  \times cot \theta=1$)

$\Rightarrow AB=\sqrt{36}=6\ m$

因此，塔高为 $6\ m$。

证毕。 

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更新于: 2022-10-10

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