从塔底4米和9米处，在同一水平线上两点测得塔顶的仰角互余。证明塔高为6米。

从塔底4米和9米处，在同一水平线上两点测得塔顶的仰角互余。

需要做： 

我们必须证明塔高为6米。

设塔高为$TF$，$CF=4\ m$，$DF=9\ m$。

设$\angle TCF=\theta , \angle TDF=90^{o} -\theta$。

$\angle TCF+\angle TDF=90^{o}$   (已知)

在直角三角形$\vartriangle TCF$中

$tan\theta =\frac{TF}{CF}=\frac{TF}{4}$

$\Rightarrow TF=4tan\theta \ \ \ \ \ \ \ .................( 1)$

在$\vartriangle TDF$中

$tan( 90^{o} -\theta ) =\frac{TF}{DF} =\frac{TF}{9}$

$\Rightarrow TF=9tan( 90^{o} -\theta )=9cot\theta \ \ \ \ ....................( 2)$

将$( 1)$和$( 2)$相乘

$TF^{2} =4tan\theta \times 9cot\theta =36$     ($tan\ x \times cot\ x=1$)

$\Rightarrow TF=\sqrt{36}=6\ m$

因此，塔高为6米。

证毕。