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法律学一名跳伞者正在垂直下降，他在自己左侧相距 100 米的两处观察点测得仰角分别为 \( 45^{\circ} \) 和 \( 60^{\circ} \)。求他下降的最大高度以及他着地点到最近观察点的距离。
已知
一名跳伞者正在垂直下降，他在自己左侧相距 100 米的两处观察点测得仰角分别为 \( 45^{\circ} \) 和 \( 60^{\circ} \)。
要求
我们需要求出他下降的最大高度以及他着地点到最近观察点的距离。
解答：
设 $AB$ 为跳伞者距地面的高度，$C, D$ 为两个观察点，分别测得仰角为 \( 45^{\circ} \) 和 \( 60^{\circ} \)。
根据图形，
$\mathrm{CD}=100 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{ACB}=45^{\circ}, \angle \mathrm{ADB}=60^{\circ}$
设跳伞者距地面的高度为 $\mathrm{AB}=h \mathrm{~m}$，观察点 $D$ 到他着地点的距离为 $\mathrm{DB}=x \mathrm{~m}$。
这意味着，
$\mathrm{CB}=x+100 \mathrm{~m}$
我们知道，
$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$
$=\frac{\text { AB }}{BC}$
$\Rightarrow \tan 45^{\circ}=\frac{h}{x+100}$
$\Rightarrow 1=\frac{h}{x+100}$
$\Rightarrow h=1(x+100) \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x=h-100 \mathrm{~m}$...........(i)
类似地，
$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$
$=\frac{\text { AB }}{DB}$
$\Rightarrow \tan 60^{\circ}=\frac{h}{x}$
$\Rightarrow \sqrt3=\frac{h}{x}$
$\Rightarrow x(\sqrt3)=h \mathrm{~m}$
$\Rightarrow (h-100)\sqrt3=h \mathrm{~m}$ [由 (i) 得]
$\Rightarrow \sqrt3h-100\sqrt3=h \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h(\sqrt3-1)=100\sqrt3 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=\frac{100\times1.732}{1.732-1} \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=\frac{173.2}{0.732}=236.6 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x=236.6-100=136.6 \mathrm{~m}$
因此，他下降的最大高度为 $236.6 \mathrm{~m}$，他着地点到最近观察点的距离为 $136.6 \mathrm{~m}$。
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