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法学研究从地面上一点\( P \)看，一座\( 10 \mathrm{~m} \)高的建筑物的仰角为\( 30^{\circ} \)。在建筑物顶部竖起一面旗帜，从\( P \)点看旗杆顶端的仰角为\( 45^{\circ} \)。求旗杆的长度和建筑物到\( P \)点的距离。（取\( \sqrt{3}=1.732 \)）。
已知条件
从地面上一点\( P \)看，一座\( 10 \mathrm{~m} \)高的建筑物的仰角为\( 30^{\circ} \)。
在建筑物顶部竖起一面旗帜，从\( P \)点看旗杆顶端的仰角为\( 45^{\circ} \)。
要求
我们需要求出旗杆的长度和建筑物到\( P \)点的距离。
解：
设$AB$为高楼，$BC$为旗杆长度。
点$P$为观察点。
从图中，
$\mathrm{AB}=10 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{CPA}=45^{\circ}, \angle \mathrm{BPA}=30^{\circ}$
设旗杆高度为$\mathrm{BC}=h \mathrm{~m}$，建筑物到点$P$的距离为$\mathrm{AP}=x \mathrm{~m}$。
这意味着，
$\mathrm{AC}=10+h \mathrm{~m}$
我们知道，
$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$
$=\frac{\text { CA }}{PA}$
$\Rightarrow \tan 45^{\circ}=\frac{10+h}{x}$
$\Rightarrow 1=\frac{10+h}{x}$
$\Rightarrow x(1)=10+h \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x=10+h \mathrm{~m}$.........(i)
同样地，
$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$
$=\frac{\text { BA }}{PA}$
$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{10}{x}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{10}{x}$
$\Rightarrow x=10\sqrt3=10(1.732)=17.32 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow 10+h=10\sqrt3 \mathrm{~m}$ [从 (i)]
$\Rightarrow h=10(1.732-1) \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=10(0.732) \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=7.32 \mathrm{~m}$
因此，旗杆的高度为\(7.32 \mathrm{~m}\)，建筑物到点\(P\)的距离为\(17.32 \mathrm{~m}\)。
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