一根竖直的塔矗立在水平面上，塔顶上竖立着一根高为$7 \mathrm{~m}$的旗杆。从水平面上的一个点，观察旗杆底部的仰角为$30^{\circ}$，观察旗杆顶部的仰角为$45^{\circ}$。求塔的高度。

已知

一根竖直的塔矗立在水平面上，塔顶上竖立着一根高为$7 \mathrm{~m}$的旗杆。

从水平面上的一个点，观察旗杆底部的仰角为$30^{\circ}$，观察旗杆顶部的仰角为$45^{\circ}$。

要求

我们需要求出塔的高度。

解:  

设$AB$为塔，$BC$为旗杆的长度。

设观察点为$D$。

根据图示，

$\mathrm{BC}=7 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{BDA}=30^{\circ}, \angle \mathrm{CDA}=45^{\circ}$

设塔的高度为$\mathrm{DB}=h \mathrm{~m}$，塔与观察点$D$之间的距离为$\mathrm{AD}=x \mathrm{~m}$。

这意味着，

$\mathrm{AC}=x+h \mathrm{~m}$

我们知道，

$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$

$=\frac{\text { CA }}{DA}$

$\Rightarrow \tan 45^{\circ}=\frac{h+7}{x}$

$\Rightarrow 1=\frac{h+7}{x}$

$\Rightarrow h+7=x(1) \mathrm{~m}$

$\Rightarrow x=h+7 \mathrm{~m}$...........(i)

类似地，

$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$

$=\frac{\text { BA }}{DA}$

$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{h}{x}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{h}{h+7}$                 [根据 (i)]

$\Rightarrow h+7=h\sqrt3 \mathrm{~m}$

$\Rightarrow h(\sqrt3-1)=7 \mathrm{~m}$

$\Rightarrow h(1.732-1)=7 \mathrm{~m}$

$\Rightarrow h=\frac{7}{0.732} \mathrm{~m}$

$\Rightarrow h=9.56 \mathrm{~m}$

因此，塔的高度为 $9.56 \mathrm{~m}$.      

教程点

更新于: 2022年10月10日

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