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法律研究一根竖直的塔矗立在水平面上，塔顶上竖立着一根高为\( 7 \mathrm{~m} \)的旗杆。从水平面上的一个点，观察旗杆底部的仰角为\( 30^{\circ} \)，观察旗杆顶部的仰角为\( 45^{\circ} \)。求塔的高度。
已知
一根竖直的塔矗立在水平面上，塔顶上竖立着一根高为\( 7 \mathrm{~m} \)的旗杆。
从水平面上的一个点，观察旗杆底部的仰角为\( 30^{\circ} \)，观察旗杆顶部的仰角为\( 45^{\circ} \)。
要求
我们需要求出塔的高度。
解:
设$AB$为塔，$BC$为旗杆的长度。
设观察点为$D$。
根据图示，
$\mathrm{BC}=7 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{BDA}=30^{\circ}, \angle \mathrm{CDA}=45^{\circ}$
设塔的高度为$\mathrm{DB}=h \mathrm{~m}$，塔与观察点$D$之间的距离为$\mathrm{AD}=x \mathrm{~m}$。
这意味着，
$\mathrm{AC}=x+h \mathrm{~m}$
我们知道，
$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$
$=\frac{\text { CA }}{DA}$
$\Rightarrow \tan 45^{\circ}=\frac{h+7}{x}$
$\Rightarrow 1=\frac{h+7}{x}$
$\Rightarrow h+7=x(1) \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x=h+7 \mathrm{~m}$...........(i)
类似地，
$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$
$=\frac{\text { BA }}{DA}$
$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{h}{x}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{h}{h+7}$ [根据 (i)]
$\Rightarrow h+7=h\sqrt3 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h(\sqrt3-1)=7 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h(1.732-1)=7 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=\frac{7}{0.732} \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=9.56 \mathrm{~m}$
因此，塔的高度为 $9.56 \mathrm{~m}$.
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