一座垂直的塔矗立在水平地面上,塔顶上竖立着一根垂直的旗杆。在距离塔 70 米的地面上一处,观察者注意到旗杆顶端和底端的仰角分别为 60∘ 和 45∘,求旗杆的高度和塔的高度。
已知
一座垂直的塔矗立在水平地面上,塔顶上竖立着一根垂直的旗杆。在距离塔 70 米的地面上一处,观察者注意到旗杆顶端和底端的仰角分别为 60∘ 和 45∘。
要求
我们需要求出旗杆的高度和塔的高度。
解:
设 DB 为塔,AD 为旗杆的长度。
设点 C 为观察点,距离塔 70 米。
从图中,
BC=70 m,∠DCB=45∘,∠ACB=60∘
设塔的高度为 DB=h m,旗杆的高度为 AD=x m。
这意味着,
AB=x+h m
我们知道,
tanθ= 对边 邻边
= DB BC
⇒tan45∘=h70
⇒1=h70
⇒h=70(1) m
⇒h=70 m
类似地,
tanθ= 对边 邻边
= AB BC
⇒tan60∘=x+h70
⇒√3=x+7070
⇒x+70=70√3 m
⇒x=70(√3−1) m
⇒x=70(1.732−1) m
⇒x=70(0.732) m
⇒x=51.24 m
因此,旗杆的高度为 51.24 m,塔的高度为 70 m.
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