从塔底经过水平面上的一个点观察塔顶的仰角为$32^{\circ}$。当观察者向塔移动$100 \mathrm{~m}$的距离时，他发现塔顶的仰角为$63^{\circ}$。求塔的高度和观察者初始位置到塔的距离。[取$\tan 32^{\circ}=0.6248$ 和 tan $\left.63^{\circ}=1.9626\right]$

已知

从塔底经过水平面上的一个点观察塔顶的仰角为$32^{\circ}$。

当观察者向塔移动$100 \mathrm{~m}$的距离时，他发现塔顶的仰角为$63^{\circ}$。

要求

我们需要求出塔的高度和观察者初始位置到塔的距离。

解：  

设$AB$为塔，$CD$为从$C$点开始向塔底移动的距离。

从图中可知，

$\mathrm{CD}=100 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{ACB}=32^{\circ}, \angle \mathrm{ADB}=63^{\circ}$

设塔的高度为$\mathrm{AB}=h \mathrm{~m}$，点$C$到塔底的距离为$\mathrm{BC}=x \mathrm{~m}$。

这意味着，

$\mathrm{DB}=x-100 \mathrm{~m}$

我们知道，

$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$

$=\frac{\text { AB }}{BC}$

$\Rightarrow \tan 32^{\circ}=\frac{h}{x}$

$\Rightarrow 0.6248=\frac{h}{x}$

$\Rightarrow x(0.6248)=h \mathrm{~m}$

$\Rightarrow h=0.6248x \mathrm{~m}$...........(i)

类似地，

$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$

$=\frac{\text { AB }}{DB}$

$\Rightarrow \tan 63^{\circ}=\frac{h}{x-100}$

$\Rightarrow 1.9626=\frac{h}{x-100}$

$\Rightarrow (x-100)1.9626=h \mathrm{~m}$

$\Rightarrow 1.9626x-196.26=0.6248x \mathrm{~m}$           [来自 (i)]

$\Rightarrow (1.9626-0.6248)x=196.26 \mathrm{~m}$

$\Rightarrow 1.3378x=196.26 \mathrm{~m}$

$\Rightarrow x=\frac{196.26}{1.3378}=146.70 \mathrm{~m}$

$\Rightarrow h=0.6248(146.70)=91.65 \mathrm{~m}$

因此，塔的高度为$91.65 \mathrm{~m}$，观察者初始位置到塔的距离为$146.70 \mathrm{~m}$。

教程点

更新于： 2022年10月10日

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