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法律研究从塔底经过水平面上的一个点观察塔顶的仰角为\( 32^{\circ} \)。当观察者向塔移动\( 100 \mathrm{~m} \)的距离时，他发现塔顶的仰角为\( 63^{\circ} \)。求塔的高度和观察者初始位置到塔的距离。[取\( \tan 32^{\circ}=0.6248 \) 和 tan \( \left.63^{\circ}=1.9626\right] \)
已知
从塔底经过水平面上的一个点观察塔顶的仰角为\( 32^{\circ} \)。
当观察者向塔移动\( 100 \mathrm{~m} \)的距离时，他发现塔顶的仰角为\( 63^{\circ} \)。
要求
我们需要求出塔的高度和观察者初始位置到塔的距离。
解：
设$AB$为塔，$CD$为从$C$点开始向塔底移动的距离。
从图中可知，
$\mathrm{CD}=100 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{ACB}=32^{\circ}, \angle \mathrm{ADB}=63^{\circ}$
设塔的高度为$\mathrm{AB}=h \mathrm{~m}$，点$C$到塔底的距离为$\mathrm{BC}=x \mathrm{~m}$。
这意味着，
$\mathrm{DB}=x-100 \mathrm{~m}$
我们知道，
$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$
$=\frac{\text { AB }}{BC}$
$\Rightarrow \tan 32^{\circ}=\frac{h}{x}$
$\Rightarrow 0.6248=\frac{h}{x}$
$\Rightarrow x(0.6248)=h \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=0.6248x \mathrm{~m}$...........(i)
类似地，
$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$
$=\frac{\text { AB }}{DB}$
$\Rightarrow \tan 63^{\circ}=\frac{h}{x-100}$
$\Rightarrow 1.9626=\frac{h}{x-100}$
$\Rightarrow (x-100)1.9626=h \mathrm{~m}$
$\Rightarrow 1.9626x-196.26=0.6248x \mathrm{~m}$ [来自 (i)]
$\Rightarrow (1.9626-0.6248)x=196.26 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow 1.3378x=196.26 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x=\frac{196.26}{1.3378}=146.70 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=0.6248(146.70)=91.65 \mathrm{~m}$
因此，塔的高度为$91.65 \mathrm{~m}$，观察者初始位置到塔的距离为$146.70 \mathrm{~m}$。
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