一根竖直的塔矗立在水平地面上，塔顶上竖直安装着一根高5米的旗杆。在水平地面上的某一点，旗杆底部和顶部的仰角分别为$30^{\circ}$和$60^{\circ}$。求塔的高度。

已知

一根竖直的塔矗立在水平地面上，塔顶上竖直安装着一根高5米的旗杆。在水平地面上的某一点，旗杆底部和顶部的仰角分别为$30^{\circ}$和$60^{\circ}$。

求解

我们需要求出塔的高度。

解：  

设$DB$为塔，$AD$为旗杆的长度。

设观测点为$C$。

由图可知，

$\mathrm{AD}=5 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{DCB}=30^{\circ}, \angle \mathrm{ACB}=60^{\circ}$

设塔的高度为$\mathrm{DB}=h \mathrm{~m}$，观测点$C$到塔底的距离为$\mathrm{BC}=x \mathrm{~m}$。

我们知道，

$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$

$=\frac{\text { DB }}{BC}$

$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{h}{x}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{h}{x}$

$\Rightarrow x=h(\sqrt3) \mathrm{~m}$

$\Rightarrow x=\sqrt3 h \mathrm{~m}$...........(i)

类似地，

$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$

$=\frac{\text { AB }}{BC}$

$\Rightarrow \tan 60^{\circ}=\frac{5+h}{x}$

$\Rightarrow \sqrt3=\frac{5+h}{x}$

$\Rightarrow x\sqrt3=5+h \mathrm{~m}$

$\Rightarrow (\sqrt3 h)\sqrt3=5+h \mathrm{~m}$           [由 (i)]

$\Rightarrow 3h=5+h \mathrm{~m}$

$\Rightarrow 3h-h=5 \mathrm{~m}$

$\Rightarrow h=\frac{5}{2}=2.5 \mathrm{~m}$

因此，塔的高度为 $2.5 \mathrm{~m}$.       

教程点

更新于： 2022年10月10日

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