两艘船从相反方向驶向一座灯塔。从灯塔顶端观察，这两艘船的俯角分别为 $30^{\circ}$ 和 $45^{\circ}$。如果这两艘船之间的距离为 100 米，求灯塔的高度。（使用 $\sqrt{3}=1.732$ ）

已知

两艘船从相反方向驶向一座灯塔。从灯塔顶端观察，这两艘船的俯角分别为 $30^{\circ}$ 和 $45^{\circ}$。两艘船之间的距离为 100 米。

要求

我们需要求出灯塔的高度。

解答

设 BC 为 x，灯塔的高度为 h。

这意味着，

$BD=100-x\ m$

$\angle C=30^o$ 和 $\angle D=45^o$

在三角形 ABC 中，

$tan 30^o=\frac{x}{h}$

$\frac{1}{\sqrt3}=\frac{h}{x}$

$x=\sqrt{3}h$   (交叉相乘)----(i)

$tan 45^o=\frac{h}{100-x}$

$1=\frac{h}{100-x}$

$h=100-x$

$x=100-h$   (交叉相乘)----(ii)

将 $x=100-h$ 代入方程 (i)

$100-h=\sqrt{3}h$

$h+\sqrt{3}h=100$

$h(1+1.732)=100$

$h=\frac{100}{2.732}$

$h=36.6$

灯塔的高度为 36.6 米。

教程点

更新时间： 2022 年 10 月 10 日

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