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法律一棵树垂直生长在水平面上，并向东倾斜。在树的正西方向，分别距离树底\( a \)和\( b \)的两点处，树顶的仰角分别为\( \alpha \)和\( \beta \)。证明树顶到地面的高度为\( \frac{(b-a) \tan \alpha \tan \beta}{\tan \alpha-\tan \beta} \)
已知
一棵树垂直生长在水平面上，并向东倾斜。在树的正西方向，分别距离树底\( a \)和\( b \)的两点处，树顶的仰角分别为\( \alpha \)和\( \beta \)。
要求
我们必须证明树顶到地面的高度为\( \frac{(b-a) \tan \alpha \tan \beta}{\tan \alpha-\tan \beta} \)。
解答
设$AB$为树，$C$和$D$是树的正西方向，分别距离树底\( a \)和\( b \)的两点。
从树顶向地面作垂线。
从图中，
$\angle BCE=\alpha, \angle BDE=\beta$
设垂线的高度为$h$，$A$和$E$之间的距离为$x$。
在直角$\Delta \mathrm{BCE}$中，
$\tan \alpha=\frac{BE}{CE}$
$=\frac{h}{x+a}$
$x+a=\frac{h}{\tan \alpha}$
$x=\frac{h}{\tan \alpha}-a$..........(i)
类似地，
在直角$\Delta \mathrm{BDE}$中，
$\tan \beta=\frac{BE}{DE}$
$=\frac{h}{x+b}$
$h=(x+b)\tan \beta$
$x=\frac{h}{\tan \beta}-b$............(ii)
由(i)和(ii)可得，
$\frac{h}{\tan \alpha}-a=\frac{h}{\tan \beta}-b$
$\Rightarrow h(\frac{1}{\tan \alpha}-\frac{1}{\tan \beta})=a-b$
$h(\frac{\tan \beta-\tan \alpha}{\tan \alpha \tan\ \beta})=a-b$
$h=\frac{(b-a) \tan \alpha \tan \beta}{\tan \alpha-\tan \beta}$
证毕。
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