一棵树垂直生长在水平面上，并向东倾斜。在树的正西方向，分别距离树底$a$和$b$的两点处，树顶的仰角分别为$\alpha$和$\beta$。证明树顶到地面的高度为$\frac{(b-a) \tan \alpha \tan \beta}{\tan \alpha-\tan \beta}$

已知

一棵树垂直生长在水平面上，并向东倾斜。在树的正西方向，分别距离树底$a$和$b$的两点处，树顶的仰角分别为$\alpha$和$\beta$。

要求

我们必须证明树顶到地面的高度为$\frac{(b-a) \tan \alpha \tan \beta}{\tan \alpha-\tan \beta}$。

解答

设$AB$为树，$C$和$D$是树的正西方向，分别距离树底$a$和$b$的两点。

从树顶向地面作垂线。

从图中，

$\angle BCE=\alpha, \angle BDE=\beta$

设垂线的高度为$h$，$A$和$E$之间的距离为$x$。

在直角$\Delta \mathrm{BCE}$中，

$\tan \alpha=\frac{BE}{CE}$

$=\frac{h}{x+a}$

$x+a=\frac{h}{\tan \alpha}$

$x=\frac{h}{\tan \alpha}-a$..........(i)

类似地，

在直角$\Delta \mathrm{BDE}$中，

$\tan \beta=\frac{BE}{DE}$

$=\frac{h}{x+b}$

$h=(x+b)\tan \beta$

$x=\frac{h}{\tan \beta}-b$............(ii)

由(i)和(ii)可得，

$\frac{h}{\tan \alpha}-a=\frac{h}{\tan \beta}-b$                 

$\Rightarrow h(\frac{1}{\tan \alpha}-\frac{1}{\tan \beta})=a-b$

$h(\frac{\tan \beta-\tan \alpha}{\tan \alpha \tan\ \beta})=a-b$

$h=\frac{(b-a) \tan \alpha \tan \beta}{\tan \alpha-\tan \beta}$

证毕。

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更新于: 2022年10月10日

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