一个梯子与水平面成 $\alpha$ 角靠在墙上。它的底部被拉离墙壁一段距离 a，导致梯子沿墙下滑一段距离 b，并与水平面成 $\beta$ 角。证明： $$\frac{a}{b}=\frac{\cos \alpha-\cos \beta}{\sin \beta-\sin \alpha}$$ 。

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已知

一个梯子与水平面成 $\alpha$ 角靠在墙上。它的底部被拉离墙壁一段距离 $a$，导致梯子沿墙下滑一段距离 $b$ ，并与水平面成 $\beta$ 角。

需要做的事情

我们需要证明

$$\frac{a}{b}=\frac{\cos \alpha-\cos \beta}{\sin \beta-\sin \alpha}$$ 。

解答

从图中可以看出，

$AB$ 和 $CD$ 是同一个梯子。这意味着 $AB = CD$

$\cos \alpha=\frac{\text { 底边 }}{\text { 斜边 }}$

$=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AB}}$

类似地，

$\cos \beta=\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{CD}}$

$=\frac{a+\mathrm{AE}}{\mathrm{AB}}$

$\sin \alpha=\frac{\text { 高边 }}{\text { 斜边 }}$

$=\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{AB}}$

$=\frac{b+\mathrm{DE}}{\mathrm{AB}}$

$\sin \beta=\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{CD}}$

$=\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AB}}$

让我们考虑等式右侧，

$\frac{\cos \alpha-\cos \beta}{\sin \beta-\sin \alpha}=\frac{\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AB}}-\frac{a+\mathrm{AE}}{\mathrm{AB}}}{\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AB}}-\frac{b+\mathrm{DE}}{\mathrm{AB}}}$

$=\frac{\mathrm{AE}-a-\mathrm{AE}}{\mathrm{DE}-b-\mathrm{DE}}$

$=\frac{-a}{-b}$

$=\frac{a}{b}$

$=$ 等式左侧

因此得证。