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法律研究一个梯子与水平面成 \( \alpha \) 角靠在墙上。它的底部被拉离墙壁一段距离 a，导致梯子沿墙下滑一段距离 b，并与水平面成 \( \beta \) 角。证明：\[\frac{a}{b}=\frac{\cos \alpha-\cos \beta}{\sin \beta-\sin \alpha}\]。
已知
一个梯子与水平面成 \( \alpha \) 角靠在墙上。它的底部被拉离墙壁一段距离 $a$，导致梯子沿墙下滑一段距离 $b$ ，并与水平面成 \( \beta \) 角。
需要做的事情
我们需要证明\[\frac{a}{b}=\frac{\cos \alpha-\cos \beta}{\sin \beta-\sin \alpha}\]。
解答
从图中可以看出，
$AB$ 和 $CD$ 是同一个梯子。这意味着 $AB = CD$
$\cos \alpha=\frac{\text { 底边 }}{\text { 斜边 }}$
$=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AB}}$
类似地，
$\cos \beta=\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{CD}}$
$=\frac{a+\mathrm{AE}}{\mathrm{AB}}$
$\sin \alpha=\frac{\text { 高边 }}{\text { 斜边 }}$
$=\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{AB}}$
$=\frac{b+\mathrm{DE}}{\mathrm{AB}}$
$\sin \beta=\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{CD}}$
$=\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AB}}$
让我们考虑等式右侧，
$\frac{\cos \alpha-\cos \beta}{\sin \beta-\sin \alpha}=\frac{\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AB}}-\frac{a+\mathrm{AE}}{\mathrm{AB}}}{\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AB}}-\frac{b+\mathrm{DE}}{\mathrm{AB}}}$
$=\frac{\mathrm{AE}-a-\mathrm{AE}}{\mathrm{DE}-b-\mathrm{DE}}$
$=\frac{-a}{-b}$
$=\frac{a}{b}$
$=$ 等式左侧
因此得证。
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