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法律研究如果从水面以上 \( h \) 米处的一点观察云的仰角为 \( \alpha \)，并且观察到它在湖中的倒影的俯角为 \( \beta \)，证明云到观察点的距离为 \( \frac{2 h \sec \alpha}{\tan \beta-\tan \alpha} \)。
已知
从水面以上 \( h \) 米处的一点观察云的仰角为 \( \alpha \)，并且观察到它在湖中的倒影的俯角为 \( \beta \)。
要求
我们必须证明云到观察点的距离为 \( \frac{2 h \tan \alpha}{\tan \beta-\tan \alpha} \)。
解答
设云为 $A$，湖中的倒影为 $C$，观察点为 $B$。
设 $AD=y\ m$，$FC=h+y\ m$ 以及 $BD=EF=x\ m$。
从图中，
$\angle ABD =\alpha, BE=DF=h\ m$ 以及 $\angle DBC=\beta$
在 $\vartriangle ABD$ 中，
$tan\ \alpha =\frac{AD}{BD} =\frac{y}{x}$
$x=\frac{y}{\tan\ \alpha}$.........(i)
在 $\vartriangle BDC$ 中，
$tan\ \beta=\frac{DC}{BD} =\frac{y+h+h}{x}$
$x=\frac{2h+y}{\tan \beta}$.........(ii)
从 (i) 和 (ii) 中，我们得到，
$\frac{y}{\tan\ \alpha}=\frac{y+2h}{\tan \beta}$
$y\tan \beta=(y+2h)\tan \alpha$
$y(\tan \beta-\tan \alpha)=2h\tan \alpha$
$y=\frac{2h\tan \alpha}{\tan \beta-\tan \alpha}$..............(iii)
在 $\vartriangle ABD$ 中，
$sin\ \alpha =\frac{AD}{AB} =\frac{y}{AB}$
$AB=\frac{\frac{2h\tan \alpha}{\tan \beta-\tan \alpha}}{\sin \alpha}$
$=\frac{\frac{2h(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha})}{\tan \beta-\tan \alpha}}{\sin \alpha}$
$=\frac{2h\sec \alpha}{\tan \beta-\tan \alpha}$
证毕。
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