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法律研究一个直径为\( 2 \mathrm{~m} \)的井，深\( 14 \mathrm{~m} \)。挖出的土均匀地铺在井周围，形成一个高\( 40 \mathrm{~cm} \)的土堤。求土堤的宽度。
已知
一个直径为\( 2 \mathrm{~m} \)的井，深\( 14 \mathrm{~m} \)。挖出的土均匀地铺在井周围，形成一个高\( 40 \mathrm{~cm} \)的土堤。
要求
我们需要求出土堤的宽度。
解答
井的直径 $= 2\ m$
这意味着，
井的半径 $r=\frac{2}{2}$
$=1 \mathrm{~m}$
井的深度 $h=14 \mathrm{~m}$
因此，
挖出的土的体积 $=\pi r^{2} h$
$=\frac{22}{7} \times 1 \times 1 \times 14$
$=44 \mathrm{~m}^{3}$
土堤的高度 $=40 \mathrm{~cm}$
$=\frac{40}{100}$
$=\frac{2}{5}$
设土堤的宽度 $=x \mathrm{~m}$
这意味着，
外半径 $\mathrm{R}=(1+x) \mathrm{m}$
土堤所用土的体积 $=\pi(\mathrm{R}^{2}-r^{2}) \times h$
挖出的土的体积 $=$ 土堤所用土的体积
因此，
$\pi h(\mathrm{R}^{2}-r^{2})=44$
$\Rightarrow \frac{22}{7} \times \frac{2}{5}[(1+x)^{2}-(1)^{2}]=44$
$\Rightarrow 1+x^{2}+2 x-1=44 \times \frac{7 \times 5}{22 \times 2}$
$\Rightarrow x^2+2x=35$
$\Rightarrow x^{2}+2 x-35=0$
$\Rightarrow x^{2}+7 x-5 x-35=0$
$\Rightarrow x(x+7)-5(x+7)=0$
$\Rightarrow(x+7)(x-5)=0$
$(x+7)=0$ 或 $x-5=0$
如果 $x+7=0$，则 $x=-7$，这是不可能的，因为 $x$ 不能为负数。
因此，
$x-5=0$
$x=5$
土堤的宽度为 $5 \mathrm{~m}$。
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