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法律研究将 56 分成四个部分，使这四个部分成等差数列，且这四个部分中，首末两项的乘积与中间两项的乘积之比为 5:6。
已知
首末两项的乘积与中间两项的乘积之比为 5:6。
要求
将 56 分成四个部分，使这四个部分成等差数列，且这四个部分中，首末两项的乘积与中间两项的乘积之比为 5:6。
解答
设这四个等差数列的数为 $(a-3 d), (a-d), (a+d), (a+3 d)$
这里，
首项为 $(a-3 d)$ 和 $(a+3 d)$
中间项为 $(a-d)$ 和 $(a+d)$
首末两项的乘积 $=(a-3 d)\times(a+3 d)$
$=(a)^2-(3d)^2$ (因为 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$)
$=a^2-9d^2$
中间两项的乘积 $=(a- d)\times(a+ d)$
$=(a)^2-(d)^2$ (因为 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$)
$=a^2-d^2$
根据题意，
首末两项的乘积与中间两项的乘积之比为 5:6。
这意味着，
$a^2-9d^2:a^2-9d^2=5:6$
$\Rightarrow \frac{a^2-9d^2}{a^2-d^2}=\frac{5}{6}$
交叉相乘，得到：
$6(a^{2}-9 d^{2})=5(a^{2}-d^{2})$
$6(a^2)-6(9d^2)=5(a^2)-5(d^2)$
$6 a^{2}-54 d^{2}=5 a^{2}-5 d^{2}$
$6 a^{2}-5 a^{2}=54 d^{2}-5 d^{2}$
$a^{2}=49 d^{2}$
$(a)^{2}=(7 d)^{2}$ (因为 $49=7^2$)
$a=7 d$
因此，
已知，
$(a-3 d)+(a-d)+(a+d)+(a+3 d)=56$
$a+a+a+a-3d-d+d+3d=56$
$4a=56$
$a=\frac{56}{4}$
$a=14$
将 $a=7d$ 代入上式，得到：
$14=7d$
$d=\frac{14}{7}$
$d=2$
所求的数为：
$a-3d=14-3(2)=14-6=8$
$a-d=14-2=12$
$a+d=14+2=16$
$a+3d=14+3(2)=14+6=20$
所求的四个等差数列的数为 $8, 12, 16$ 和 $20$。
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