将 56 分成四个部分，使这四个部分成等差数列，且这四个部分中，首末两项的乘积与中间两项的乘积之比为 5:6。

已知

首末两项的乘积与中间两项的乘积之比为 5:6。

要求

将 56 分成四个部分，使这四个部分成等差数列，且这四个部分中，首末两项的乘积与中间两项的乘积之比为 5:6。

解答

设这四个等差数列的数为 $(a-3 d), (a-d), (a+d), (a+3 d)$

这里，

首项为 $(a-3 d)$ 和 $(a+3 d)$

中间项为 $(a-d)$ 和 $(a+d)$

首末两项的乘积 $=(a-3 d)\times(a+3 d)$

$=(a)^2-(3d)^2$              (因为 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$)

$=a^2-9d^2$

中间两项的乘积 $=(a- d)\times(a+ d)$

$=(a)^2-(d)^2$              (因为 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$)

$=a^2-d^2$

根据题意，

首末两项的乘积与中间两项的乘积之比为 5:6。

这意味着，

$a^2-9d^2:a^2-9d^2=5:6$

$\Rightarrow \frac{a^2-9d^2}{a^2-d^2}=\frac{5}{6}$

交叉相乘，得到：

$6(a^{2}-9 d^{2})=5(a^{2}-d^{2})$

$6(a^2)-6(9d^2)=5(a^2)-5(d^2)$

$6 a^{2}-54 d^{2}=5 a^{2}-5 d^{2}$

$6 a^{2}-5 a^{2}=54 d^{2}-5 d^{2}$

$a^{2}=49 d^{2}$

$(a)^{2}=(7 d)^{2}$                (因为 $49=7^2$)

$a=7 d$

因此，

已知，

$(a-3 d)+(a-d)+(a+d)+(a+3 d)=56$

$a+a+a+a-3d-d+d+3d=56$

$4a=56$

$a=\frac{56}{4}$

$a=14$

将 $a=7d$ 代入上式，得到：

$14=7d$

$d=\frac{14}{7}$

$d=2$

所求的数为：

$a-3d=14-3(2)=14-6=8$

$a-d=14-2=12$

$a+d=14+2=16$

$a+3d=14+3(2)=14+6=20$

所求的四个等差数列的数为 $8, 12, 16$ 和 $20$。

教程点

更新于: 2022年10月10日

2K+ 浏览量

开启您的 职业生涯

通过完成课程获得认证

开始学习