因式分解下列各表达式
(i) \( 27 y^{3}+125 z^{3} \)
(ii) \( 64 m^{3}-343 n^{3} \)

解题步骤

我们需要对给定的表达式进行因式分解。

解答

我们知道：

$a^3 + b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$

$=(a+b)[(a+b)^2-3ab]$

$=(a+b)[a^2+b^2+2ab-3ab]$

$=(a+b)(a^2+b^2-ab)$............(i)

$a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b)$

$=(a-b)[(a-b)^2+3ab]$

$=(a-b)[a^2+b^2-2ab+3ab]$

$=(a-b)(a^2+b^2+ab)$............(ii)

因此：

(i) $27y^3+125z^3$ 可以写成：

$27y^3+125z^3=(3y)^3+(5z)^3$

这意味着：

$(3y)^3+(5z)^3= (3y+5z)[(3y)^2-(3y)(5z)+(5z)^2]$         [根据公式(i)]

$= (3y+5z)(9y^2-15yz+25z^2)$

因此 $27y^3+125z^3=(3y+5z)(9y^2-15yz+25z^2)$。

(ii) $64m^3-343n^3$ 可以写成：

$64m^3-343n^3 = (4m)^3-(7n)^3$

$= (4m-7n)[(4m)^2+(4m)(7n)+(7n)^2]$          [根据公式(ii)]

$= (4m-7n)(16m^2+28mn+49n^2)$

因此 $64m^3-343n^3= (4m-7n)(16m^2+28mn+49n^2)$。

教程点

更新于：2022年10月10日

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