运用质因数分解法，求下列整数的最小公倍数和最大公约数。
(i) 12、15 和 21
(ii) 17、23 和 29
(iii) 8、9 和 25。

求解： 

这里我们需要运用质因数分解法，求出给定整数的最小公倍数和最大公约数。

解

使用质因数分解法计算最小公倍数和最大公约数:

将数字写成其质因数的乘积

(i) 12 的质因数分解

• $2\ \times\ 2\ \times\ 3\ =\ 2^2\ \times\ 3^1$

15 的质因数分解

• $3\ \times\ 5\ =\ 3^1\ \times\ 5^1$

21 的质因数分解

• $3\ \times\ 7\ =\ 3^1\ \times\ 7^1$

将每个质数的最高次幂相乘

$2^2\ \times\ 3^1\ \times\ 5^1\ \times\ 7^1\ =\ 420$

LCM(12, 15, 21)  $=$  420

将所有公因数相乘：

$3^1\ =\ 3$

HCF(12, 15, 21)  $=$  3

因此，12、15 和 21 的最小公倍数和最大公约数分别为 420 和 3。

(ii) 17 的质因数分解

• $17\ =\ 17^1$

23 的质因数分解

• $23\ =\ 23^1$

29 的质因数分解

• $29\ =\ 29^1$

将每个质数的最高次幂相乘

$17^1\ \times\ 23^1\ \times\ 29^1\ =\ 11339$

LCM(17, 23, 29)  $=$  11339

将所有公因数相乘：

没有公因数。因此，

HCF(17, 23, 29)  $=$  1

因此，17、23 和 29 的最小公倍数和最大公约数分别为 11339 和 1。

(iii) 8 的质因数分解

• $2\ \times\ 2\ \times\ 2\ =\ 2^3$

9 的质因数分解

• $3\ \times\ 3\ =\ 3^2$

25 的质因数分解

• $5\ \times\ 5\ =\ 5^2$

将每个质数的最高次幂相乘

$2^3\ \times\ 3^2\ \times\ 5^2\ =\ 1800$

LCM(8, 9, 25)  $=$  1800

将所有公因数相乘：

没有公因数。因此，

HCF(8, 9, 25)  $=$  1

因此，8、9 和 25 的最小公倍数和最大公约数分别为 1800 和 1。

教程点

更新于： 2022年10月10日

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