求使得二次方程 $px^{2} -14x+8=0$ 的一个根是另一个根的 6 倍的 p 值。 

已知：二次方程 $px^{2} -14x+8=0$

要求：求使得给定二次方程的一个根是另一个根的 6 倍的 p 值。 

给定二次方程 $px^{2} -14x+8=0$

两边同时除以 $p$。

$x^{2} -\frac{14}{p} x+\frac{8}{p} =0$

且，一个根是另一个根的 6 倍

设一个根 $=x$

另一个根 $=6x$

已知：在二次方程 $ax^{2} +bx+c=0$ 中

根的和 $( \alpha +\beta ) =-b/a$

根的积 $( \alpha \beta ) =c/a$

由给定方程

根的和 $=-\left( -\frac{14}{p}\right) =+\frac{14}{p}$

$\Rightarrow x+6x=\frac{14}{p}$

$\Rightarrow 7x=\frac{14}{p}$

$\Rightarrow x=\frac{2}{p} \ \ \ \ \ \ \ \ ..............( 1)$

根的积

$x( 6x) =\frac{8}{p}$

$\Rightarrow 6x^{2} =\frac{8}{p}$

$\Rightarrow 6\left(\frac{2}{p}\right)^{2} =\frac{8}{p}$

$\Rightarrow \frac{24}{p^{2}} =\frac{8}{p}$

$\Rightarrow \frac{3}{p} =1$

$\Rightarrow p=3$

因此，当 $p=3$ 时，给定二次方程的两个根满足一个根是另一个根的 6 倍。