求使下列方程组有无穷多解的 $a$ 和 $b$ 的值
$2x-(2a+5) y=5$
$(2b+1)x-9y=15$

已知：

给定的方程组为

$2x-(2a+5) y=5$
$(2b+1)x-9y=15$

要求：

我们必须确定 $a$ 和 $b$ 的值，使得给定的方程组有无穷多解。

解答

给定的方程组可以写成

$2x-(2a+5)y-5=0$

$(2b+1)x-9y-15=0$

两个变量方程组的标准形式为 $a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0$ 和 $a_{2} x+b_{2} y-c_{2}=0$。

将给定的方程组与方程的标准形式进行比较，我们有，

$a_1=2, b_1=-(2a+5), c_1=-5$ 和 $a_2=(2b+1), b_2=-9, c_2=-15$

给定方程组有无穷多解的条件是

$\frac{a_{1}}{a_{2}} \ =\frac{b_{1}}{b_{2}} =\frac{c_{1}}{c_{2}} \ $

$\frac{2}{2b+1}=\frac{-(2a+5)}{-9}=\frac{-5}{-15}$

$\frac{2}{2b+1}=\frac{2a+5}{9}=\frac{1}{3}$

$\frac{2}{2b+1}=\frac{1}{3}$ 和 $\frac{2a+5}{9}=\frac{1}{3}$

$2\times3=1\times(2b+1)$ 和 $3\times(2a+5)=1\times9$

$6=2b+1$ 和 $6a+15=9$

$2b=6-1$ 和 $6a=9-15$

$2b=5$ 和 $6a=-6$

$b=\frac{5}{2}=3$ 和 $a=\frac{-6}{6}$

$b=\frac{5}{2}$ 和 $a=-1$

使给定方程组有无穷多解的 $a$ 和 $b$ 的值分别为 $-1$ 和 $\frac{5}{2}$。  

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更新于： 2022年10月10日

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