当 $a$ 取何值时，点 $(a, 1), (1, -1)$ 和 $(11, 4)$ 共线？
已知
点 $(a, 1), (1, -1)$ 和 $(11, 4)$ 共线。
要求
我们需要求出 $a$ 的值。
解答
设 $A(a, 1), B(1, -1)$ 和 $C(11, 4)$ 是 $\triangle ABC$ 的顶点。
我们知道，
如果点 $A, B$ 和 $C$ 共线，则 $\triangle ABC$ 的面积为零。
顶点为 $(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$ 的三角形的面积由以下公式给出：
三角形面积 $\Delta=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$
因此，
三角形 \( ABC\) 的面积 \(=\frac{1}{2}[a(-1-4)+1(4-1)+11(1+1)] \)
\( 0=\frac{1}{2}[a(-5)+1(3)+11(2)] \)
\( 0(2)=(-5a+3+22) \)
\( 0=-5a+25 \)
\( 5a=25 \)
\( a=\frac{25}{5} \)
\( a=5 \)
$a$ 的值为 $5$。
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