等差数列 45, 39, 33, …，需要取多少项才能使它们的和为 180？解释为什么会有两个答案。

已知

已知等差数列为 45, 39, 33, …
要求

我们需要找到必须取多少项才能使它们的和为 180。
解答

设项数为 $n$。

首项 $(a)=45$

公差 $(d)=39-45=-6$

我们知道，

$S_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$
$\Rightarrow 180=\frac{n}{2}[2 \times 45+(n-1) \times(-6)]$
$\Rightarrow 180=\frac{n}{2}[90-6n+6]$
$\Rightarrow 360=n(-6 n+96)$
$\Rightarrow 6\times60=6(- n^{2}+16 n)$
$\Rightarrow  n^{2}-16 n+60=0$

$\Rightarrow n^{2}-10 n-6 n+60=0$
$\Rightarrow n(n-10)-6(n-10)=0$
$\Rightarrow(n-10)(n-6)=0$
这意味着，

$n-10=0$ 或 $n-6=0$ 

$n=10$ 或 $n=6$

需要取的项数为 6 或 10。

这是因为公差为 -6，所以等差数列在几项之后会从正数变为负数，这使得从第 7 项到第 10 项的和为 0。
$a_7=a+6d=45+6(-6)=45-36=9, a_8=a_7+d=9-6=3, a_9=a_8+d=3-6=-3, a_{10}=a_9+d=-3-6=-9$

这里，

$a_7+a_8+a_9+a_{10}=9+3-3-9=0$

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更新于：2022年10月10日

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