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法律研究等差数列 45, 39, 33, …，需要取多少项才能使它们的和为 180？解释为什么会有两个答案。
已知
已知等差数列为 45, 39, 33, …
要求
我们需要找到必须取多少项才能使它们的和为 180。
解答
设项数为 \( n \)。
首项 \( (a)=45 \)
公差 \( (d)=39-45=-6 \)
我们知道，
\( S_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \)
\( \Rightarrow 180=\frac{n}{2}[2 \times 45+(n-1) \times(-6)] \)
\( \Rightarrow 180=\frac{n}{2}[90-6n+6] \)
\( \Rightarrow 360=n(-6 n+96) \)
\( \Rightarrow 6\times60=6(- n^{2}+16 n) \)
\( \Rightarrow n^{2}-16 n+60=0 \)
\( \Rightarrow n^{2}-10 n-6 n+60=0 \)
\( \Rightarrow n(n-10)-6(n-10)=0 \)
\( \Rightarrow(n-10)(n-6)=0 \)
这意味着，
\( n-10=0 \) 或 \( n-6=0 \)
\( n=10 \) 或 \( n=6 \)
需要取的项数为 6 或 10。
这是因为公差为 -6，所以等差数列在几项之后会从正数变为负数，这使得从第 7 项到第 10 项的和为 0。
$a_7=a+6d=45+6(-6)=45-36=9, a_8=a_7+d=9-6=3, a_9=a_8+d=3-6=-3, a_{10}=a_9+d=-3-6=-9$
这里，
$a_7+a_8+a_9+a_{10}=9+3-3-9=0$
更新于：2022年10月10日
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