三个成等差数列的项的和为$33$，如果第$1$项和第$3$项的乘积比第$2$项大$29$，求这个等差数列。

已知：三个成等差数列的项的和为$33$，如果第$1$项和第$3$项的乘积比第$2$项大$29$。

要求：求这个等差数列。  

解答

设等差数列的前三项为$a−d,\ a,\ a+d$。

根据题意，

$a−d+a+a+d=33\ ......( 1)$

$( a−d)( a+d)=a+29\ .....( 2)$

由$( 1)$，得到

$3a=33$

$\Rightarrow a=\frac{33}{3}=11$

由$( 2)$，得到

$a^2−d^2=a+29\  .....( 3)$

将$a=11$代入方程$( 3)$

$121−d^2=11+29$

$\Rightarrow 121−d^2=40$

$\Rightarrow 121−40=d^2$
 
$\Rightarrow 81=d^2$
 
$\Rightarrow d=±9$

当$a=11$ & $d=9$时

等差数列：$2,\ 11,\ 20,\ 29,\ .....$

当$a=11$ & $d=−9$时

等差数列：$20,\ 11,\ 2,\ ......$
 

更新于： 2022年10月10日

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