一个等差数列包含 37 项。中间三项的和为 225，后三项的和为 429。求这个等差数列。

已知

一个等差数列包含 $37$ 项。中间三项的和为 $225$，后三项的和为 $429$。

要求

我们需要求出这个等差数列。

解答

这个等差数列包含 $37$ 项。因此，中间项是第 $( \frac{37+1}{2})^{th}$ 项，即第 19 项。

因此，这个等差数列的中间三项是第 18 项，第 19 项和第 20 项。

已知 $a_{18} + a_{19} + a_{20} = 225$

$\Rightarrow (a + 17d) + (a + 18d) + (a + 19d) = 225$

$\Rightarrow 3(a + 18d) = 225$

$\Rightarrow a + 18d = 75$

$\Rightarrow a = 75 – 18d\ … ( 1)$

根据已知条件

$a_{35} + a_{36} + a_{37} = 429$

$\Rightarrow ( a + 34d) + ( a + 35d) + ( a + 36d) = 429$

$\Rightarrow 3( a + 35d) = 429$

$\Rightarrow ( 75 – 18d) + 35d = 143$

$\Rightarrow 17d = 143 – 75 = 68$

$\Rightarrow d = 4$

将 $d$ 的值代入方程 $( 1)$，得到：

$a = 75 – 18 \times 4 = 3$

因此，所求的等差数列为 $3,\ 7,\ 11,\ 15\ …$

教程点

更新时间： 2022年10月10日

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