等差数列A.P.中，首项和第五项分别为$-14$和$2$，各项之和为$40$，求该等差数列的项数。

已知

等差数列A.P.的首项和第五项分别为$-14$和$2$，各项之和为$40$。
要求

求该等差数列的项数。
解答

等差数列A.P.的首项为$-14$，第五项为$2$

各项之和为$40$
设项数为$n$。

$a_{5}=2$
$\Rightarrow a_{5}=a+(5-1) d$
$\Rightarrow 2=-14+4 d$

$\Rightarrow 4 d=14+2=16$
$\Rightarrow d=\frac{16}{4}=4$
我们知道，
$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$

$40=\frac{n}{2}[2\times(-14)+(n-1)\times4$

$40=\frac{2n}{2}[-14+2n-2]$

$40=n(2n-16)$

$40=2n(n-8)$

$20=n^2-8n$

$n^2-8n-20=0$

$n(n-10)+2(n-10)=0$
$(n-10)(n+2)=0$
$n-10=0$ 或  $n+2=0$

$n=10$ 或 $n=-2$，后者不成立
$\therefore$ $n=10$

该等差数列的项数为10。  

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更新时间： 2022年10月10日

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