如果 $sin\ A = \frac{9}{41}$，计算 $cos\ A$ 和 $tan\ A。

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已知

$sin\ A = \frac{9}{41}$。

要求

我们需要计算 $cos\ A$ 和 $tan\ A。

解：  

假设在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B = 90^\circ$，$sin\ A = \frac{9}{41}$。

我们知道，

在以 $B$ 为直角的直角三角形 $ABC$ 中，

根据勾股定理，

$AC^2=AB^2+BC^2$

根据三角函数的定义，

$sin\ A=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$

$cos\ A=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$

$tan\ A=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AB}$

这里，

$AC^2=AB^2+BC^2$

$\Rightarrow (41)^2=AB^2+(9)^2$

$\Rightarrow AB^2=1681-81$

$\Rightarrow AB=\sqrt{1600}=40$

因此，

$cos\ A=\frac{AB}{AC}=\frac{40}{41}$

 $tan\ A=\frac{BC}{AB}=\frac{9}{40}$