如果$\sqrt[3]{3\left(\sqrt[3]{x}-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)}=2$，则$\left(x-\frac{1}{x}\right)$的值是A. $\frac{728}{9}$
B. $\frac{520}{27}$
C. $\frac{728}{27}$
D. $\frac{328}{15}$

已知

$\sqrt[3]{3\left(\sqrt[3]{x}-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)}=2$

要求

我们必须找到$\left(x-\frac{1}{x}\right)$的值。

解答

$\sqrt[3]{3\left(\sqrt[3]{x}-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)}=2$

两边立方，得到：

$3(\sqrt[3]{x}-\frac{1}{\sqrt[3]{x}})=2^3$

$3(\sqrt[3]{x}-\frac{1}{\sqrt[3]{x}})=8$

$(\sqrt[3]{x}-\frac{1}{\sqrt[3]{x}})=\frac{8}{3}$
设 $\sqrt[3]{x}=k$
这意味着：

$k-\frac{1}{k}=\frac{8}{3}$

$\frac{k(k)-1}{k}=\frac{8}{3}$

$3(k^2-1)=8(k)$

$3k^2-8k-3=0$

$3k^2-9k+k-3=0$

$3k(k-3)+1(k-3)=0$

$(3k+1)(k-3)=0$

$3k+1=0$ 或 $k-3=0$

$3k=-1$ 或 $k=3$

$k=\frac{-1}{3}$ 或 $k=3$

因此：

$\sqrt[3]{x}=\frac{-1}{3}$ 或 $\sqrt[3]{x}=3$

两边立方，得到：

$x=(\frac{-1}{3})^3$ 或 $x=3^3$

$x=\frac{-1}{27}$ 或 $x=27$

现在：

当 $x=\frac{-1}{27}$ 时

$x-\frac{1}{x}=\frac{-1}{27}-\frac{1}{\frac{-1}{27}}$

$=27-\frac{1}{27}$

$=\frac{27(27)-1}{27}$

$=\frac{729-1}{27}$

$=\frac{728}{27}$

当 $x=27$ 时

$x-\frac{1}{x}=27-\frac{1}{27}$

$=\frac{27(27)-1}{27}$

$=\frac{729-1}{27}$

$=\frac{728}{27}$

选项 C 是正确答案。

教程点

更新于: 2022 年 10 月 10 日

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