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法学在下图中，$PA, QB$ 和 $RC$ 都垂直于 $AC$。证明 $\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{y}$。
已知
$PA \perp AC, QB \perp AC$ 和 $RC \perp AC$。
要求
我们必须证明 $\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{y}$。
解答
$AP=x$ 和 $BQ=y$
设 $AB=a$ 和 $BC=b$
在$\triangle CQB$ 和 $\triangle CPA$ 中，
$\angle QBC=\angle PAC=90^o$
$\angle QCB=\angle PCA$ (公共角)
因此，
$\triangle CQB \sim \triangle CPA$ (根据AA相似)
这意味着，
$\frac{QB}{PA}=\frac{BC}{AC}$
$\frac{y}{x}=\frac{b}{a+b}$.....(i)
在$\triangle AQB$ 和 $\triangle ARC$ 中，
$\angle ABQ=\angle ACR=90^o$
$\angle BAQ=\angle CAR$ (公共角)
因此，
$\triangle AQB \sim \triangle ARC$ (根据AA相似)
这意味着，
$\frac{QB}{RC}=\frac{AB}{AC}$
$\frac{y}{z}=\frac{a}{a+b}$.....(ii)
将方程(i)和(ii)相加，我们得到：
$\frac{y}{x}+\frac{y}{z}=\frac{b}{a+b}+\frac{a}{a+b}$
$\frac{yz+xy}{xz}=\frac{a+b}{a+b}$
$\frac{yz+xy}{xz}=1$
$yz+xy=xz$
两边除以$xyz$，我们得到：
$\frac{yz+xy}{xyz}=\frac{xz}{xyz}$
$\frac{yz}{xyz}+\frac{xy}{xyz}=\frac{xz}{xyz}$
$\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{y}$
证毕。
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