证明：$(cosecA-sinA)(secA-cosA)=\frac{1}{tanA+cotA}$。

已知：$(cosecA-sinA)(secA-cosA)=\frac{1}{tanA+cotA}$。

要求：证明：$(cosecA-sinA)(secA-cosA)=\frac{1}{tanA+cotA}$。

解答

$(cosecA-sinA)(secA-cosA)=\frac{1}{tanA+cotA}$

$L.H.S.=(cosecA-sinA)(secA-cosA)$

$=( \frac{1}{sinA}-sinA)-( \frac{1}{cosA}-cosA)$           [$\because cosecA=\frac{1}{sinA}$ 且 $secA=\frac{1}{cosA}$]

$=( \frac{1-sin^2A}{sinA})( \frac{1-cos^2A}{cosA})$

$=( \frac{cos^2A}{sinA})( \frac{sin^2A}{cosA})$          [$\because 1-sin^2A=cos^2A$ 且 $1-cos^2A=sin^2A$]

$=sinAcosA$

且 $R.H.S.=\frac{1}{tanA+cotA}$

$=\frac{1}{\frac{sinA}{cosA}+\frac{cosA}{sinA}}$   [$\because tanA=\frac{sinA}{cosA}$ 且 $cotA=\frac{cosA}{sinA}$]

$=\frac{1}{\frac{sin^2A+cos^2}{cosAsinA}}$      [$\because sin^2A+cos^2A=1$]

$=sinAcosA$

因此，$L.H.S.=R.H.S.$

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更新于： 2022年10月10日

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