如果csc A = 2，求$\frac{1}{tanA}+\frac{sinA}{( 1+cosA)}$的值。

已知：$cosec A=2$。

求解：求$\frac{1}{tanA}+\frac{sinA}{( 1+cosA)}$的值。

$cosecA=2$

$\Rightarrow sinA = \frac{1}{2}$ ...... $( i)$

因此，$cosA=\sqrt{( 1-sin²A)}$

$\Rightarrow  \sqrt{( 1-\frac{1}{4})}$

$\Rightarrow \sqrt{( \frac{3}{4})}$

$\Rightarrow  \frac{\sqrt{3}}{2}$ ...... $( ii)$

所以，$tanA=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$=( \frac{1}{2})\times ( \frac{2}{\sqrt{3}})$

$=\frac{1}{\sqrt{3}}$ ....... $( iii)$

现在在$\frac{1}{tanA}+\frac{sinA}{( 1+cosA)}$中

根据 $( i),\ ( ii)$ 和 $( iii)$，代入数值

$=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}+\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$=\sqrt{3}+\frac{( \frac{1}{2})}{ ( \frac{2+\sqrt{3}}{2})}$

$= \sqrt{3}+\frac{1}{(2+\sqrt{3})}$

$= \frac{( 2\sqrt{3}+3+1)}{( 2+\sqrt{3})}$

$=2\frac{( \sqrt{3}+2)}{( \sqrt{3}+2)}$

$= 2$