证明 $\frac{\sin A - 2\sin^3 A}{2\cos^3 A - \cos A} = \tan A$。

已知：$\frac{\sin A - 2\sin^3 A}{2\cos^3 A - \cos A} = \tan A$。

要求：证明左边 = 右边。

解答：

左边 = $\frac{\sin A - 2\sin^3 A}{2\cos^3 A - \cos A}$

= $\frac{\sin A}{\cos A} \cdot \frac{1 - 2\sin^2 A}{2\cos^2 A - 1}$

= $\frac{\sin A}{\cos A} \cdot \frac{\sin^2 A + \cos^2 A - 2\sin^2 A}{2\cos^2 A - (\sin^2 A + \cos^2 A)}$ $(\because \sin^2 A + \cos^2 A = 1)$

= $\frac{\sin A}{\cos A} \cdot \frac{\cos^2 A - \sin^2 A}{\cos^2 A - \sin^2 A}$

= $\frac{\sin A}{\cos A} \cdot 1$

= $\tan A$ $(\because \frac{\sin A}{\cos A} = \tan A)$

= 右边

因此证明了 $\frac{\sin A - 2\sin^3 A}{2\cos^3 A - \cos A} = \tan A$。

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更新于：2022年10月10日

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