化简分母 \( \frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1} \).

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已知

\( \frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1} \).

事項： 

我們必須化簡給定表達式的分母。

解

我們知道，

分母為 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ 的分式的有理化因子為 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。

因此，

分母為 ${\sqrt{a}-1}$ 的分式的有理化因子為 ${\sqrt{a}+1}$。

這表示，

$\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}=\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}\times\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+1}$

$=\frac{(\sqrt{a}+1)^2}{(\sqrt{a})^2-(1)^2}$

$=\frac{(\sqrt{a})^2+2\times \sqrt{a}\times1+(1)^2}{a-1}$

$=\frac{a+2\sqrt{a}+1}{a-1}$.