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两个自然数的差为 5，它们倒数的差为 $\frac {1}{10}$ 。找到这两个数字。

学术数学课本十年级

已知：两个自然数的差为 5 厘米，而它们的倒数的差为

$\frac{1}{10}$ 。

待求：找出这两个数。

解：

假设这两个自然数为

$a$ 和

$b$ 。

根据已知条件，

这两个数的差为 5。

$a-b=5$

$\Rightarrow a=b+5............( 1)$

它们的倒数的差为

$\frac{1}{10}$ 。

$\frac{1}{a} -\frac{1}{b} =\frac{1}{10}$

$\Rightarrow \frac{b-a}{ab} =\frac{1}{10}$

$\Rightarrow \frac{5}{ab} =\frac{1}{10}$

$\Rightarrow ab=50$

$\Rightarrow ( b+5) b=50$

$\Rightarrow b^{2} +5b-50=0$

$\Rightarrow b^{2} +10b-5b-50=0$

$\Rightarrow b( b+10) -5( b+10) =0$

$\Rightarrow ( b-5)( b+10) =0$

如果

$b-5=0$

$\Rightarrow b=5$

如果

$b+10=0$

$b=-10$

$\because$ b 是一个自然数，它不能为负。

$\therefore$ 我们排除

$b=-10$ ，

因此我们只接受

$b=5$ ，将此值代入

$( 1)$ 中，

$a=5+5=10$

因此，这两个自然数为 5 和 10。

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更新于：2022 年 10 月 10 日

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