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法律研究一个直角三角形的斜边长为 $3\sqrt{10}$ 厘米。如果较短的直角边扩大三倍，较长的直角边扩大两倍，新的斜边将变为 $9\sqrt5$ 厘米。求这个三角形的两条直角边的长度。
已知条件
一个直角三角形的斜边长为 $3\sqrt{10}$ 厘米。
当较短的直角边扩大三倍，较长的直角边扩大两倍时，新的斜边将变为 $9\sqrt5$ 厘米。
要求
我们需要找到这个三角形的两条直角边的长度。
解答
设较短的直角边长为 $x$ 厘米，较长的直角边长为 $y$ 厘米。
较短的直角边扩大三倍后长度为 $3x$ 厘米。
较长的直角边扩大两倍后长度为 $2y$ 厘米。
我们知道：
在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。（勾股定理）
因此，
$x^2+y^2=(3\sqrt{10})^2$
$x^2+y^2=9(10)$
$x^2+y^2=90$----(1)
同时，
$(3x)^2+(2y)^2=(9\sqrt5)^2$
$9x^2+4y^2=81(5)$
$9x^2+4y^2=405$
$9x^2+4(90-x^2)=405$ (根据方程式 1)
$9x^2+360-4x^2=405$
$5x^2=405-360$
$5x^2=45$
$x^2=9$
$x=\sqrt9$
$x=3$ 或 $x=-3$
长度不能为负数。因此，$x$ 的值为 $3$。
$x^2=(3)^2=9\ cm^2$
$9+y^2=90$
$y^2=90-9$
$y^2=81$
$y=\sqrt{81}$
$y=9$
这个三角形的两条直角边的长度分别为 $3$ 厘米和 $9$ 厘米。
更新于： 2022 年 10 月 10 日
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