一个直角三角形的斜边长为 $3\sqrt{10}$ 厘米。如果较短的直角边扩大三倍，较长的直角边扩大两倍，新的斜边将变为 $9\sqrt5$ 厘米。求这个三角形的两条直角边的长度。

已知条件

一个直角三角形的斜边长为 $3\sqrt{10}$ 厘米。

当较短的直角边扩大三倍，较长的直角边扩大两倍时，新的斜边将变为 $9\sqrt5$ 厘米。

要求

我们需要找到这个三角形的两条直角边的长度。

解答

设较短的直角边长为 $x$ 厘米，较长的直角边长为 $y$ 厘米。

较短的直角边扩大三倍后长度为 $3x$ 厘米。

较长的直角边扩大两倍后长度为 $2y$ 厘米。

我们知道：

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。（勾股定理）

因此，

$x^2+y^2=(3\sqrt{10})^2$

$x^2+y^2=9(10)$

$x^2+y^2=90$----(1)

同时，

$(3x)^2+(2y)^2=(9\sqrt5)^2$

$9x^2+4y^2=81(5)$

$9x^2+4y^2=405$

$9x^2+4(90-x^2)=405$   (根据方程式 1)

$9x^2+360-4x^2=405$

$5x^2=405-360$

$5x^2=45$

$x^2=9$

$x=\sqrt9$

$x=3$ 或 $x=-3$

长度不能为负数。因此，$x$ 的值为 $3$。

$x^2=(3)^2=9\ cm^2$

$9+y^2=90$

$y^2=90-9$

$y^2=81$

$y=\sqrt{81}$

$y=9$

这个三角形的两条直角边的长度分别为 $3$ 厘米和 $9$ 厘米。 

教程点

更新于： 2022 年 10 月 10 日

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