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法律研究点 \(A (2, 9)\)、\(B (a, 5)\) 和 \(C (5, 5)\) 是三角形 ABC 的顶点，且∠B 为直角。求 a 的值，并由此求出三角形 ABC 的面积。
已知
点 \(A (2, 9)\)、\(B (a, 5)\) 和 \(C (5, 5)\) 是三角形 ABC 的顶点，且∠B 为直角。
要求
我们需要求出 a 的值，并由此求出三角形 ABC 的面积。
解答
我们知道，
两点 \( \mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right) \) 和 \( \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right) \) 之间的距离为 \( \sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \)。
三角形在 B 点是直角三角形。这意味着，根据勾股定理，
\( AB^2+BC^2=AC^2 \).......(i)
因此，
\( \mathrm{AB}=\sqrt{(a-2)^{2}+(5-9)^{2}} \)
\( =\sqrt{a^{2}+4-4 a+16} \)
\( =\sqrt{a^{2}-4 a+20} \)
\( \mathrm{BC}=\sqrt{(5-a)^{2}+(5-5)^{2}} \)
\( =\sqrt{(5-a)^{2}+0}=5-a \)
\( \mathrm{CA}=\sqrt{(2-5)^{2}+(9-5)^{2}} \)
\( =\sqrt{(-3)^{2}+(4)^{2}} \)
\( =\sqrt{9+16} \)
\( =\sqrt{25}=5 \)
将 \( \mathrm{AB} \)、\( \mathrm{BC} \) 和 \( \mathrm{AC} \) 的值代入 (i)，得到：
\( (5)^{2}=\sqrt{\left(a^{2}-4 a+20\right)^{2}}+(5-a)^{2} \)
\( \Rightarrow 25=a^{2}-4 a+20+25+a^{2}-10 a \)
\( \Rightarrow 2 a^{2}-14 a+20=0 \)
\( \Rightarrow a^{2}-7 a+10=0 \)
\( \Rightarrow a^{2}-2 a-5 a+10=0 \)
\( \Rightarrow a(a-2)-5(a-2)=0 \)
\( \Rightarrow (a-2)(a-5)=0 \)
\( \Rightarrow a=2 \) 或 \( a=5 \)
如果 \( a=5 \)，则 \( \mathrm{BC} \) 的长度为 0，这是不可能的，因为边 \( \mathrm{AB} \)、\( \mathrm{BC} \) 和 CA 构成一个直角三角形。
因此，\( a=2 \)
A、B 和 C 的坐标分别为 \( (2,9)\)、\( (2,5) \) 和 \( (5,5) \)。
三角形 ABC 的面积 \( =\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right] \)
\( =\frac{1}{2}[2(5-5)+2(5-9)+5(9-5)] \)
\( =\frac{1}{2}[2 \times 0+2(-4)+5(4)] \)
\( =\frac{1}{2}(0-8+20) \)
\( =\frac{1}{2} \times 12=6 \)
因此，三角形 ABC 的面积为 6 平方单位。
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