点 $A( 4,\ 7) ,\ B( p,\ 3)$ 和 $C( 7,\ 3)$ 是直角三角形的顶点，∠B为直角，求 $p$ 的值。

已知：直角三角形的顶点，∠B为直角，点 A(4, 7), B(p, 3) 和 C(7, 3)。

求解：求 P 的值。

$\vartriangle ABC$ 在 B 点处为直角。

$AC^{2} =AB^{2} +BC^{2} .............( 1)$

并且，$A=( 4,\ 7),\ B=( p,\ 3)$ 和 $C=( 7,\ 3)$

使用距离公式，

我们有，

$AB=\sqrt{\left( p-4\right)^{2} +\left( 3-7\right)^{2}}$

$\Rightarrow AB=\sqrt{\left( p-4\right)^{2} +\left( -4\right)^{2}}$

$\Rightarrow AB=\sqrt{\left( p-4\right)^{2} +16}$

类似地，$BC=\sqrt{\left( 7-p\right)^{2} +\left( 3-3\right)^{2}}$

$\Rightarrow BC=\sqrt{\left( 7-p\right)^{2}}$

$\Rightarrow BC=7-p$

并且 $AC=\sqrt{\left( 7-4\right)^{2} +\left( 3-7\right)^{2}}$

$\Rightarrow AC=\sqrt{\left( 3\right)^{2} +\left( -4\right)^{2}}$

$\Rightarrow AC=\sqrt{9+16}$

$\Rightarrow AC=\sqrt{25}$

$\Rightarrow AC=5$

将获得的 AB、BC 和 AC 的值代入 (1)，

$5^{2} =\left( p-4\right)^{2} +16+\left( 7-p\right)^{2}$

$\Rightarrow p^{2} +16-8p+16+49+p^{2} -14p=25$

$\Rightarrow 2p^{2} -22p+56=0$

$\Rightarrow 2\left( p^{2} -11p+28\right) =0$

$\Rightarrow \left( p^{2} -11p+28\right) =0$

$\Rightarrow p^{2} -7p-4p+28=0$

$\Rightarrow p\left( p-7\right) -4\left( p-7\right) =0$

$\Rightarrow \left( p-4\right)\left( p-7\right) =0$

如果 $p-4=0$

$\Rightarrow p=4$

如果 $p-7=0$

$\Rightarrow p=7$

因此，$p$ 的值为 $4,\ 7$。