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法律研究点\( \mathrm{A}(2,9), \mathrm{B}(a, 5) \)和\( \mathrm{C}(5,5) \)是直角三角形\( \mathrm{ABC} \)的顶点，其中\( \mathrm{B} \)为直角顶点。求\( a \)的值，并由此求出\( \triangle \mathrm{ABC} \)的面积。
已知
点 $A (2, 9), B (a, 5)$ 和 $C (5, 5)$ 是三角形 ABC 的顶点，其中 B 为直角顶点。
要求
我们需要求出 $a$ 的值，并由此求出 $\triangle ABC$ 的面积。
解答
我们知道，
点\( \mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right) \)和\( \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right) \)之间的距离为\( \sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \)。
该三角形在 B 处为直角。
这意味着，根据勾股定理，
\( AB^2+BC^2=AC^2 \).......(i)
因此，
\( \mathrm{AB}=\sqrt{(a-2)^{2}+(5-9)^{2}} \)
\( =\sqrt{a^{2}+4-4 a+16} \)
\( =\sqrt{a^{2}-4 a+20} \)
\( \mathrm{BC}=\sqrt{(5-a)^{2}+(5-5)^{2}} \)
\( =\sqrt{(5-a)^{2}+0}=5-a \)
\( \mathrm{CA}=\sqrt{(2-5)^{2}+(9-5)^{2}} \)
\( =\sqrt{(-3)^{2}+(4)^{2}} \)
\( =\sqrt{9+16} \)
\( =\sqrt{25}=5 \)
将\( \mathrm{AB}, \mathrm{BC} \)和\( \mathrm{AC} \)的值代入(i)，得到，
\( (5)^{2}=\sqrt{\left(a^{2}-4 a+20\right)^{2}}+(5-a)^{2} \)
\( \Rightarrow 25=a^{2}-4 a+20+25+a^{2}-10 a \)
\( \Rightarrow 2 a^{2}-14 a+20=0 \)
\( \Rightarrow a^{2}-7 a+10=0 \)
\( \Rightarrow a^{2}-2 a-5 a+10=0 \)
\( \Rightarrow a(a-2)-5(a-2)=0 \)
\( \Rightarrow (a-2)(a-5)=0 \)
\( \Rightarrow a=2 \) 或 \( a=5 \)
如果\( a=5 \)，则\( \mathrm{BC} \)的长度为 0，这是不可能的，因为边\( \mathrm{AB}, \mathrm{BC} \)和 CA 构成一个直角三角形。
因此，\( a=2 \)
点\( \mathrm{A}, \mathrm{B} \)和\( \mathrm{C} \)的坐标分别为\( (2,9),(2,5) \)和\( (5,5) \)。
三角形\( \Delta \mathrm{ABC} \)的面积=\( \frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right] \)
\( =\frac{1}{2}[2(5-5)+2(5-9)+5(9-5)] \)
\( =\frac{1}{2}[2 \times 0+2(-4)+5(4)] \)
\( =\frac{1}{2}(0-8+20) \)
\( =\frac{1}{2} \times 12=6 \)
因此，\( \Delta \mathrm{ABC} \)的面积为 6 平方单位。
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