在\( \triangle \mathrm{ABC} \)中，\( \mathrm{AB}=\mathrm{AC} \)且\( \mathrm{AM} \)是高线。如果\( AM=15 \)且\( \triangle ABC \)的周长为50，求\( \triangle \mathrm{ABC} \)的面积。

已知

在\( \triangle \mathrm{ABC} \)中，\( \mathrm{AB}=\mathrm{AC} \)且\( \mathrm{AM} \)是高线。

\( AM=15 \)且\( \triangle ABC \)的周长为50。

要求

我们需要求\( \triangle \mathrm{ABC} \)的面积。

解答

设 $AB=AC=x$

在 $\triangle ABC$ 中，

根据勾股定理，

$BC^2 =AB^2+AC^2$

$=x^2+x^2$

$=2x^2$

$BC=\sqrt{2x^2}$

$BC=x\sqrt2$

$AB+BC+CA=50$

$x+x+x\sqrt2=50$

$x(2+\sqrt2)=50$

$x=\frac{50}{2+\sqrt2}$

$x=\frac{50(2-\sqrt2)}{(2+\sqrt2)(2-\sqrt2)}$

$x=\frac{50(2-\sqrt2)}{4-2}$

$x=25(2-\sqrt{2})$

三角形的面积 $=\frac{1}{2}\times [25(2-\sqrt2)]^2$

$=\frac{625(4+2-4\sqrt2)}{2}$

$=625(3-2\sqrt2)$

教程点

更新于: 2022-10-10

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