27个实心铁球,每个球的半径为r,表面积为S,将这些铁球熔化后铸成一个新的球体,其表面积为S′。求
(i) 新球体的半径r′,
(ii) S和S′的比值。
已知
27个实心铁球,每个球的半径为r,表面积为S,将这些铁球熔化后铸成一个新的球体,其表面积为S′。
要求
我们需要求出
(i) 新球体的半径r′,(ii) S和S′的比值。
解答
(i) 每个实心铁球的半径 =r
这意味着,
每个实心铁球的体积 =43πr3
27个实心铁球的总体积 =27×43πr3
=36πr3
新球体的半径 =r′
因此,
新球体的体积 =43πr′3
43πr′3=36πr3
r′3=36×3×r34
=27r3
=(3r)3
r′=3r
新球体的半径r′为 3r。
(ii) 半径为 r 的每个铁球的表面积为 S=4πr2
半径为 r′ 的铁球的表面积为 4πr′2
S 和 S′ 的比值为 4πr2:4πr′2
=r2:(3r)2
=r2:9r2
=1:9
S 和 S′ 的比值为 1:9。
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