27个实心铁球，每个球的半径为\( r \)，表面积为\( \mathrm{S} \)，将这些铁球熔化后铸成一个新的球体，其表面积为\( S^{\prime} \)。求
(i) 新球体的半径\( r^{\prime} \)，
(ii) \( \mathrm{S} \)和\( \mathrm{S}^{\prime} \)的比值。

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已知

27个实心铁球，每个球的半径为\( r \)，表面积为\( \mathrm{S} \)，将这些铁球熔化后铸成一个新的球体，其表面积为\( S^{\prime} \)。

要求

我们需要求出

(i) 新球体的半径\( r^{\prime} \)，
(ii) \( \mathrm{S} \)和\( \mathrm{S}^{\prime} \)的比值。

解答

(i) 每个实心铁球的半径 $=r$

这意味着，

每个实心铁球的体积 $=\frac{4}{3} \pi r^{3}$

27个实心铁球的总体积 $=27\times\frac{4}{3} \pi r^{3}$

$=36 \pi r^{3}$

新球体的半径 $=r^{\prime}$

因此，

新球体的体积 $=\frac{4}{3} \pi r^{\prime 3}$

$\frac{4}{3} \pi r^{\prime 3}=36 \pi r^{3}$

$r^{\prime 3}=\frac{36 \times 3 \times r^{3}}{4}$

$=27 r^{3}$

$=(3 r)^{3}$

$r^{\prime}=3 r$

新球体的半径\( r^{\prime} \)为 $3r$。

(ii) 半径为 $r$ 的每个铁球的表面积为 $S =4\pi r^2$

半径为 $r^{\prime}$ 的铁球的表面积为 $4 \pi r^{\prime 2}$

$S$ 和 $S^{\prime}$ 的比值为 $4\pi r^2:4 \pi r^{\prime 2}$

$=r^2:(3r)^2$

$=r^2:9r^2$

$=1:9$

$S$ 和 $S^{\prime}$ 的比值为 $1: 9$。