验证以下每对有理数的加法交换律
(i) \( \frac{-11}{5} \) 和 \( \frac{4}{7} \)
(ii) \( \frac{4}{9} \) 和 \( \frac{7}{-12} \)
(iii) \( \frac{-3}{5} \) 和 \( \frac{-2}{-15} \)
(iv) \( \frac{2}{-7} \) 和 \( \frac{12}{-35} \)
(v) 4 和 \( \frac{-3}{5} \)
(vi) \( -4 \) 和 \( \frac{4}{-7} \)

要做的

我们必须验证给定有理数加法的交换律。

解答

加法的交换律 指出我们可以按任何顺序添加有理数。

因此，

(i) $\frac{-11}{5}+\frac{4}{7}=\frac{-11\times7}{5\times7}+\frac{4\times5}{7\times5}$           (5 和 7 的最小公倍数是 35)

$=\frac{-77}{35}+\frac{20}{35}$

$=\frac{-77+20}{35}$   

$=\frac{-(77-20)}{35}$

$=\frac{-57}{35}$

$\frac{4}{7}+\frac{-11}{5}=\frac{4\times5}{7\times5}+\frac{-11\times7}{5\times7}$           (7 和 5 的最小公倍数是 35)

$=\frac{20}{35}+\frac{-77}{35}$

$=\frac{20+(-77)}{35}$   

$=\frac{-(77-20)}{35}$

$=\frac{-57}{35}$

因此，$\frac{-11}{5}+\frac{4}{7}=\frac{4}{7}+\frac{-11}{5}$.

(ii) $\frac{4}{9}+\frac{7}{-12}=\frac{4\times4}{9\times4}+\frac{-7\times3}{12\times3}$           (9 和 12 的最小公倍数是 36)

$=\frac{16}{36}+\frac{-21}{36}$

$=\frac{16+(-21)}{36}$   

$=\frac{-(21-16)}{36}$

$=\frac{-5}{36}$

$\frac{7}{-12}+\frac{4}{9}=\frac{-7\times3}{12\times3}+\frac{4\times4}{9\times4}$           (12 和 9 的最小公倍数是 36)

$=\frac{-21}{36}+\frac{16}{36}$

$=\frac{-21+16}{36}$   

$=\frac{-(21-16)}{36}$

$=\frac{-5}{36}$

因此，$\frac{4}{9}+\frac{7}{-12}=\frac{7}{-12}+\frac{4}{9}$. 

(iii) $\frac{-3}{5}+\frac{-2}{-15}=\frac{-3\times3}{5\times3}+\frac{2\times1}{15\times1}$           (5 和 15 的最小公倍数是 15)

$=\frac{-9}{15}+\frac{2}{15}$

$=\frac{-9+2}{15}$   

$=\frac{-(9-2)}{15}$

$=\frac{-7}{15}$

$\frac{-2}{-15}+\frac{-3}{5}=\frac{2\times1}{15\times1}+\frac{-3\times3}{5\times3}$           (15 和 5 的最小公倍数是 15)

$=\frac{2}{15}+\frac{-9}{15}$

$=\frac{2+(-9)}{15}$   

$=\frac{-(9-2)}{15}$

$=\frac{-7}{15}$

因此，$\frac{-3}{5}+\frac{-2}{-15}=\frac{-2}{-15}+\frac{-3}{5}$.  

(iv) $\frac{2}{-7}+\frac{12}{-35}=\frac{-2\times5}{7\times5}+\frac{-12\times1}{35\times1}$           (7 和 35 的最小公倍数是 35)

$=\frac{-10}{35}+\frac{-12}{35}$

$=\frac{-10+(-12)}{35}$   

$=\frac{-(10+12)}{35}$

$=\frac{-22}{35}$

$\frac{12}{-35}+\frac{2}{-7}=\frac{-12\times1}{35\times1}+\frac{-2\times5}{7\times5}$           (35 和 7 的最小公倍数是 35)

$=\frac{-12}{35}+\frac{-10}{35}$

$=\frac{-12+(-10)}{35}$   

$=\frac{-(12+10)}{35}$

$=\frac{-22}{35}$

因此，$\frac{2}{-7}+\frac{12}{-35}=\frac{12}{-35}+\frac{2}{-7}$.   

(v) $4+\frac{-3}{5}=\frac{4\times5}{1\times5}+\frac{-3\times1}{5\times1}$           (1 和 5 的最小公倍数是 5)

$=\frac{20}{5}+\frac{-3}{5}$

$=\frac{20+(-3)}{5}$   

$=\frac{20-3}{5}$

$=\frac{17}{5}$

$\frac{-3}{5}+4=\frac{-3\times1}{5\times1}+\frac{4\times5}{1\times5}$           (5 和 1 的最小公倍数是 5)

$=\frac{-3}{5}+\frac{20}{5}$

$=\frac{-3+20}{5}$   

$=\frac{17}{35}$

因此，$4+\frac{-3}{5}=\frac{-3}{5}+4$.    

(vi) $-4+\frac{4}{-7}=\frac{-4\times7}{1\times7}+\frac{-4\times1}{7\times1}$           (1 和 7 的最小公倍数是 7)

$=\frac{-28}{7}+\frac{-4}{7}$

$=\frac{-28+(-4)}{7}$   

$=\frac{-(28+4)}{7}$

$=\frac{-32}{7}$

$\frac{4}{-7}+(-4)=\frac{-4\times1}{7\times1}+\frac{-4\times7}{1\times7}$           (7 和 1 的最小公倍数是 7)

$=\frac{-4}{7}+\frac{-28}{7}$

$=\frac{-(4+28)}{7}$   

$=\frac{-32}{7}$

因此，$-4+\frac{4}{-7}=\frac{4}{-7}+(-4)$.     

教程点

更新于： 2022年10月10日

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