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法学下列哪些数是完全立方数？
(i) 64
(ii)216
(iii) 243
(iv) 1000
(v) 1728
(vi) 3087
(vii) 4608
(viii) 106480
(ix) 166375
(x) 456533.
待办事项
我们必须找出给定的数字是否是完全立方数。
解答：
(i) 64 的质因数分解是：
$64=2\times2\times2\times2\times2\times2$
$=2^3\times2^3$
$=(2\times2)^3$
$=4^3$
将因子分组为三个相等因子的组，我们看到没有剩余因子。
因此，
64 是一个完全立方数。
(ii) 216 的质因数分解是：
$216=2\times2\times2\times3\times3\times3$
$=2^3\times3^3$
$=(2\times3)^3$
$=6^3$
将因子分组为三个相等因子的组，我们看到没有剩余因子。
因此，
216 是一个完全立方数。
(iii) 243 的质因数分解是：
$243=3\times3\times3\times3\times3$
$=3^3\times3^2$
将因子分组为三个相等因子的组，我们看到剩余两个因子 $3 \times 3$。
因此，
243 不是完全立方数。
(iv) 1000 的质因数分解是：
$1000=2\times2\times2\times5\times5\times5$
$=2^3\times5^3$
$=(2\times5)^3$
$=15^3$
将因子分组为三个相等因子的组，我们看到没有剩余因子。
因此，
1000 是一个完全立方数。
(v) 1728 的质因数分解是：
$1728=2\times2\times2\times2\times2\times2\times3\times3\times3$
$=2^3\times2^3\times3^3$
$=(2\times2\times3)^3$
$=12^3$
将因子分组为三个相等因子的组，我们看到没有剩余因子。
因此，
1728 是一个完全立方数。
(vi) 3087 的质因数分解是：
$3087=3\times3\times7\times7\times7$
$=3^2\times7^3$
将因子分组为三个相等因子的组，我们看到剩余两个因子。
因此，
3087 不是完全立方数。
(vii) 4608 的质因数分解是：
$4608=2\times2\times2\times2\times2\times2\times2\times2\times2\times3\times3$
$=2^3\times2^3\times2^3\times3^2$
将因子分组为三个相等因子的组，我们看到剩余两个因子。
因此，
4608 不是完全立方数。
(viii) 106480 的质因数分解是：
$106480=2\times2\times2\times2\times5\times11\times11\times11$
$=2^3\times2\times5\times11^3$
将因子分组为三个相等因子的组，我们看到剩余两个因子 (2 和 5)。
因此，
106480 不是完全立方数。
(ix) 166375 的质因数分解是：
$166375=5\times5\times5\times11\times11\times11$
$=5^3\times11^3$
$=(5\times11)^3$
$=55^3$
将因子分组为三个相等因子的组，我们看到没有剩余因子。
因此，
166375 是一个完全立方数。
(x) 456533 的质因数分解是：
$456533=7\times7\times7\times11\times11\times11$
$=7^3\times11^3$
$=(7\times11)^3$
$=77^3$
将因子分组为三个相等因子的组，我们看到没有剩余因子。
因此，
456533 是一个完全立方数。
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