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法律研究求最小的数，将其乘以以下数字，使得积为完全立方数？
(i) 675
(ii) 1323
(iii) 2560
(iv) 7803
(v) 107811
(vi) 35721
要做的事情
我们必须找到最小的数，将其乘以给定的数字，使得积为完全立方数。
解答：
(i) 675 的质因数分解为 $675=3\times3\times3\times5\times5$
将因子分组为三个相等因子的组，我们发现 $5 \times 5$ 不是一个完整的组。
因此，将 $675$ 乘以 5，我们得到：
$675\times5=3\times3\times3\times5\times5\times5$
因此，必须将给定数字乘以 5，才能使积成为完全立方数。
(ii) 1323 的质因数分解为 $1323=3\times3\times3\times7\times7$
将因子分组为三个相等因子的组，我们发现 $7 \times 7$ 不是一个完整的组。
因此，将 $1323$ 乘以 7，我们得到：
$1323\times7=3\times3\times3\times7\times7\times7$
因此，必须将给定数字乘以 7，才能使积成为完全立方数。
(iii) 2560 的质因数分解为 $2560=2\times2\times2\times2\times2\times2\times2\times2\times2\times5$
将因子分组为三个相等因子的组，我们发现 $5$ 不是一个完整的组。
因此，将 $2560$ 乘以 $5\times5=25$，我们得到：
$2560\times5\times5=2\times2\times2\times2\times2\times2\times2\times2\times2\times5\times5\times5$
因此，必须将给定数字乘以 25，才能使积成为完全立方数。
(iv) 7803 的质因数分解为 $7803=3\times3\times3\times17\times17$
将因子分组为三个相等因子的组，我们发现 $17\times17$ 不是一个完整的组。
因此，将 $7809$ 乘以 $17$，我们得到：
$7809\times17=3\times3\times3\times17\times17\times17$
因此，必须将给定数字乘以 17，才能使积成为完全立方数。
(v) 107811 的质因数分解为 $107811=3\times3\times3\times3\times11\times11\times11$
将因子分组为三个相等因子的组，我们发现 $3$ 不是一个完整的组。
因此，将 $107811$ 乘以 $3\times3=9$，我们得到：
$107811\times3\times3=3\times3\times3\times3\times3\times3\times11\times11\times11$
因此，必须将给定数字乘以 9，才能使积成为完全立方数。
(vi) 35721 的质因数分解为 $35721=3\times3\times3\times3\times3\times3\times7\times7$
将因子分组为三个相等因子的组，我们发现 $7\times7$ 不是一个完整的组。
因此，将 $35721$ 乘以 $7$，我们得到：
$35721\times7=3\times3\times3\times3\times3\times3\times7\times7\times7$
因此，必须将给定数字乘以 7，才能使积成为完全立方数。
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