需要除以什么最小的数才能使下列各数的商为完全立方数?
(i) 675
(ii) 8640
(iii) 1600
(iv) 8788
(v) 7803
(vi) 107811
(vii) 35721
(viii) 243000.
待办事项
我们必须找到最小的数字,用它来除以给定的数字,使商为完全立方数。
解答:
(i) 675 的质因数分解为 3×3×3×5×5
将因子分组为三个相等因子的三元组,我们发现 5×5 不是一个完整的三元组。
因此,将 675 除以 5×5=25,我们得到:
675÷25=3×3×3×5×5÷25
=3×3×3
因此,必须除以的最小的数是 25,才能使商为完全立方数。
(ii) 8640 的质因数分解为 2×2×2×2×2×2×3×3×3×5
将因子分组为三个相等因子的三元组,我们发现 5 不是一个完整的三元组。
因此,将 8640 除以 5,我们得到:
8640÷5=2×2×2×2×2×2×3×3×3×5÷5
=2×2×2×2×2×2×3×3×3
因此,必须除以的最小的数是 5,才能使商为完全立方数。
(iii) 1600 的质因数分解为 2×2×2×2×2×2×5×5
将因子分组为三个相等因子的三元组,我们发现 5×5 不是一个完整的三元组。
因此,将 1600 除以 5×5=25,我们得到:
1600÷25=2×2×2×2×2×2×5×5÷25
=2×2×2×2×2×2
因此,必须除以的最小的数是 25,才能使商为完全立方数。
(iv) 8788 的质因数分解为 2×2×13×13×13
将因子分组为三个相等因子的三元组,我们发现 2×2 不是一个完整的三元组。
因此,将 8788 除以 2×2=4,我们得到:
8788÷4=2×2×13×13×13÷4
=13×13×13
因此,必须除以的最小的数是 4,才能使商为完全立方数。
(v) 7803 的质因数分解为 3×3×3×17×17
将因子分组为三个相等因子的三元组,我们发现 17×17 不是一个完整的三元组。
因此,将 7803 除以 17×17=289,我们得到:
7803÷289=3×3×3×17×17÷289
=3×3×3
因此,必须除以的最小的数是 289,才能使商为完全立方数。
(vi) 107811 的质因数分解为 3×3×3×3×11×11×11
将因子分组为三个相等因子的三元组,我们发现 3 不是一个完整的三元组。
因此,将 107811 除以 3,我们得到:
107811÷3=3×3×3×3×11×11×11÷3
=3×3×3×11×11×11
因此,必须除以的最小的数是 3,才能使商为完全立方数。
(vii) 35721 的质因数分解为 3×3×3×3×3×3×7×7
将因子分组为三个相等因子的三元组,我们发现 7×7 不是一个完整的三元组。
因此,将 35721 除以 7×7=49,我们得到:
35721÷49=3×3×3×3×3×3×7×7÷49
=3×3×3×3×3×3
因此,必须除以的最小的数是 49,才能使商为完全立方数。
(viii) 243000 的质因数分解为 2×2×2×3×3×3×3×3×5×5×5
将因子分组为三个相等因子的三元组,我们发现 3×3 不是一个完整的三元组。
因此,将 243000 除以 3×3=9,我们得到:
243000÷9=2×2×2×3×3×3×3×3×5×5×5÷9
=2×2×2×3×3×3×5×5×5
因此,必须除以的最小的数是 9,才能使商为完全立方数。