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法律研究需要除以什么最小的数才能使下列各数的商为完全立方数？
(i) 675
(ii) 8640
(iii) 1600
(iv) 8788
(v) 7803
(vi) 107811
(vii) 35721
(viii) 243000.
待办事项
我们必须找到最小的数字，用它来除以给定的数字，使商为完全立方数。
解答：
(i) 675 的质因数分解为 $3\times3\times3\times5\times5$
将因子分组为三个相等因子的三元组，我们发现 $5\times5$ 不是一个完整的三元组。
因此，将 675 除以 $5\times5=25$，我们得到：
$675\div25=3\times3\times3\times5\times5\div25$
$=3\times3\times3$
因此，必须除以的最小的数是 25，才能使商为完全立方数。
(ii) 8640 的质因数分解为 $2\times2\times2\times2\times2\times2\times3\times3\times3\times5$
将因子分组为三个相等因子的三元组，我们发现 5 不是一个完整的三元组。
因此，将 8640 除以 5，我们得到：
$8640\div5=2\times2\times2\times2\times2\times2\times3\times3\times3\times5\div5$
$=2\times2\times2\times2\times2\times2\times3\times3\times3$
因此，必须除以的最小的数是 5，才能使商为完全立方数。
(iii) 1600 的质因数分解为 $2\times2\times2\times2\times2\times2\times5\times5$
将因子分组为三个相等因子的三元组，我们发现 $5\times5$ 不是一个完整的三元组。
因此，将 1600 除以 $5\times5=25$，我们得到：
$1600\div25=2\times2\times2\times2\times2\times2\times5\times5\div25$
$=2\times2\times2\times2\times2\times2$
因此，必须除以的最小的数是 25，才能使商为完全立方数。
(iv) 8788 的质因数分解为 $2\times2\times13\times13\times13$
将因子分组为三个相等因子的三元组，我们发现 $2\times2$ 不是一个完整的三元组。
因此，将 8788 除以 $2\times2=4$，我们得到：
$8788\div4=2\times2\times13\times13\times13\div4$
$=13\times13\times13$
因此，必须除以的最小的数是 4，才能使商为完全立方数。
(v) 7803 的质因数分解为 $3\times3\times3\times17\times17$
将因子分组为三个相等因子的三元组，我们发现 $17\times17$ 不是一个完整的三元组。
因此，将 7803 除以 $17\times17=289$，我们得到：
$7803\div289=3\times3\times3\times17\times17\div289$
$=3\times3\times3$
因此，必须除以的最小的数是 289，才能使商为完全立方数。
(vi) 107811 的质因数分解为 $3\times3\times3\times3\times11\times11\times11$
将因子分组为三个相等因子的三元组，我们发现 3 不是一个完整的三元组。
因此，将 107811 除以 3，我们得到：
$107811\div3=3\times3\times3\times3\times11\times11\times11\div3$
$=3\times3\times3\times11\times11\times11$
因此，必须除以的最小的数是 3，才能使商为完全立方数。
(vii) 35721 的质因数分解为 $3\times3\times3\times3\times3\times3\times7\times7$
将因子分组为三个相等因子的三元组，我们发现 $7\times7$ 不是一个完整的三元组。
因此，将 35721 除以 $7\times7=49$，我们得到：
$35721\div49=3\times3\times3\times3\times3\times3\times7\times7\div49$
$=3\times3\times3\times3\times3\times3$
因此，必须除以的最小的数是 49，才能使商为完全立方数。
(viii) 243000 的质因数分解为 $2\times2\times2\times3\times3\times3\times3\times3\times5\times5\times5$
将因子分组为三个相等因子的三元组，我们发现 $3\times3$ 不是一个完整的三元组。
因此，将 243000 除以 $3\times3=9$，我们得到：
$243000\div9=2\times2\times2\times3\times3\times3\times3\times3\times5\times5\times5\div9$
$=2\times2\times2\times3\times3\times3\times5\times5\times5$
因此，必须除以的最小的数是 9，才能使商为完全立方数。
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