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多项式的系数与零点之间的关系


简介

多项式是包含变量和系数的数学表达式。詹姆斯·瓦德尔·亚历山大二世发明了多项式的概念。与多项式相关的术语有很多。在本教程中,我们将讨论多项式的含义,以及多项式方程的零点和系数之间各种相关性,并提供解题示例。

多项式

多项式被定义为包含一个或多个变量项乘以常数项的代数表达式。与多项式相关的有两个术语,例如系数(即常数)和变量。例如,f(p)=p2+2p+5 是一个多项式的例子。给定的多项式用 f(p) 表示。这里,p 和 p2 是变量项,它们与常数相乘。“多项式”一词来源于两个单词,即“poly”(意为多)和“nominal”(意为项)。多项式广泛应用于各个领域,包括化学、物理、数学、工程和社会科学。

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多项式的零点

多项式的零点被定义为使多项式表达式为零的数值。换句话说,多项式的根被称为多项式的零点。了解多项式的零点是必要的,因为它决定了多项式的次数。根据次数,存在各种类型多项式表达式。例如,如果 f(m)=0,则 m 被称为多项式 f(p) 的零点。

多项式的系数

我们已经看到,多项式表达式包含两种不同类型的项:常数项和变量项。常数项被称为多项式的系数。系数通常是整数。但是,它们也可以是分数、小数或虚数。如果变量没有关联或乘以常数,则系数为 1。让我们考虑一个多项式表达式的例子,即 f(p)=4p3p+0.5。在这种情况下,系数为 4、-1 和 0.5。

一次多项式的零点与系数之间的关系

在数学中,一次多项式是指只包含一个变量且最高次数为 1 的多项式。一次多项式的数学表达式可以写成

f(p)=np+q

其中 p 是唯一的变量。此外,n(≠0)和 1 是系数。由于零点表示多项式的次数;因此,任何任意一次多项式都存在一个零点。多项式的零点 =qn=()p

二次多项式的零点与系数之间的关系

在数学中,二次多项式是指包含一个或多个变量且最高次数为 2 的多项式。它也称为二次函数。二次多项式的数学表达式可以写成

f(p)=mp2+np+q

其中 p2 和 p 是变量。此外,m(≠0)、n 和 q 是系数。

由于零点表示多项式的次数;因此,任何任意二次多项式都存在两个零点。假设 α 和 β 是二次多项式的零点。二次多项式的零点与系数之间的关系总结如下。

  • 零点之和 − α+β=nm=(p)p2

  • 零点之积 − α×β=qm=p2

三次多项式的零点与系数之间的关系

在代数中,三次多项式是指包含一个或多个变量且最高次数为 3 的多项式。它也称为三次函数。三次多项式的数学表达式可以写成

f(p)=mp3+np2+qp+r

其中 p3、p2 和 p 是变量。此外,m(≠0)、n、q 和 r 是系数。

由于零点表示多项式的次数;因此,任何任意三次多项式都存在三个零点。假设 α、β 和 γ 是二次多项式的零点。三次多项式的零点与系数之间的关系总结如下。

  • 零点之和 − α+β+λ=nm=(p2)p3

  • 零点之积 − α×β×λ=rm=()p3

  • 零点乘积之和 − αβ+βλ+αλ=qm=pp3

解题示例

示例 1

计算以下多项式的零点之和与零点之积。

f(p)=0.25p2p+1

解答

给定的二次多项式为

f(p)=0.25p2p+1

与二次多项式的标准形式比较,得到

m = 0.25,n = -1,q =1

零点之和 = nm=(1)0.25=4

零点之积 =qm=10.25=4

∴ 给定多项式表达式的零点之和与零点之积分别为 4 和 4。

示例 2

计算以下多项式的零点之和与零点之积。另外,求零点乘积之和。

f(p)=(27p3)9p2+6p

解答

给定的三次多项式为

f(p)=(27p3)9p2+6p

与三次多项式的标准形式比较,得到

m = -27,n = -9,q =6,r = 0

零点之和 =nm=(9)27=1/3

零点之积 =rm=027=0

零点乘积之和 = qm=627=29

∴ 给定多项式表达式的零点之和与零点之积分别为 13 和 0。另外,零点乘积之和为 29

示例 3

计算多项式的零点 −

f(p)=0.5p25

解答

给定的一次多项式为

f(p)=0.5p25

与一次多项式的标准形式比较,得到

n = 0.5,q = -25

多项式的零点为 =qn=(25)0.5=50

∴ 多项式的零点为 50。

文字题

问题 1:计算以下多项式的零点之和与零点之积。

f(p)=1.5p3+4p27.5p+2

问题 2:计算以下多项式的零点之和与零点之积。

f(p)=2p25p3

结论

本教程简要介绍了多项式的系数与零点之间的关系。简要描述了多项式及其相关术语的基本含义。此外,还提供了一些解题示例,以便更好地理解这一概念。总之,本教程可能有助于理解多项式的系数与零点之间关系的基本概念。

常见问题

1. 如果多项式的一个根为零,则零点之积是多少?

如果多项式的一个根为 0,则零点之积为零。

2. 多项式有多少个零点?

零点的数量取决于多项式的次数。

3. 我们能否确定次数大于三的多项式的零点?

可以。我们可以通过找到次数大于三的多项式的根来确定零点。但是,计算过程冗长且耗时。

4. 如果给出零点之和与零点之积,我们能否确定多项式表达式?

可以。假设二次多项式的零点之和与零点之积分别为 α+β 和 αβ。然后可以使用以下公式获得多项式表达式

f(p)=p2(α+β)p+αβ

f(p)=p2()p+

5. 多项式表达式的应用有哪些?

多项式广泛应用于各个领域,包括化学、物理、数学、工程和社会科学。

更新于: 2024-02-23

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