多项式的系数与零点之间的关系

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简介

多项式是包含变量和系数的数学表达式。詹姆斯·瓦德尔·亚历山大二世发明了多项式的概念。与多项式相关的术语有很多。在本教程中，我们将讨论多项式的含义，以及多项式方程的零点和系数之间各种相关性，并提供解题示例。

多项式

多项式被定义为包含一个或多个变量项乘以常数项的代数表达式。与多项式相关的有两个术语，例如系数（即常数）和变量。例如，$\mathrm{\mathit{f}(p)=p^2+2p+5}$ 是一个多项式的例子。给定的多项式用 f(p) 表示。这里，p 和 p² 是变量项，它们与常数相乘。“多项式”一词来源于两个单词，即“poly”（意为多）和“nominal”（意为项）。多项式广泛应用于各个领域，包括化学、物理、数学、工程和社会科学。

多项式的零点

多项式的零点被定义为使多项式表达式为零的数值。换句话说，多项式的根被称为多项式的零点。了解多项式的零点是必要的，因为它决定了多项式的次数。根据次数，存在各种类型多项式表达式。例如，如果 f(m)=0，则 m 被称为多项式 f(p) 的零点。

多项式的系数

我们已经看到，多项式表达式包含两种不同类型的项：常数项和变量项。常数项被称为多项式的系数。系数通常是整数。但是，它们也可以是分数、小数或虚数。如果变量没有关联或乘以常数，则系数为 1。让我们考虑一个多项式表达式的例子，即 $\mathrm{\mathit{f}(p)=4p^3-p+0.5}$。在这种情况下，系数为 4、-1 和 0.5。

一次多项式的零点与系数之间的关系

在数学中，一次多项式是指只包含一个变量且最高次数为 1 的多项式。一次多项式的数学表达式可以写成

$$\mathrm{\mathit{f}(p)=np+q}$$

其中 p 是唯一的变量。此外，n（≠0）和 1 是系数。由于零点表示多项式的次数；因此，任何任意一次多项式都存在一个零点。多项式的零点 $\mathrm{=\frac{-q}{n}=\frac{-(常数项)}{p 的系数}}$

二次多项式的零点与系数之间的关系

在数学中，二次多项式是指包含一个或多个变量且最高次数为 2 的多项式。它也称为二次函数。二次多项式的数学表达式可以写成

$$\mathrm{\mathit{f}(p)=mp^2+np+q}$$

其中 p² 和 p 是变量。此外，m（≠0）、n 和 q 是系数。

由于零点表示多项式的次数；因此，任何任意二次多项式都存在两个零点。假设 α 和 β 是二次多项式的零点。二次多项式的零点与系数之间的关系总结如下。

• 零点之和 − $\mathrm{α+β=\frac{-n}{m}=\frac{-(p 的系数)}{p^2 的系数}}$

• 零点之积 − $\mathrm{α\times β=\frac{q}{m}=\frac{常数项}{p^2 的系数}}$

三次多项式的零点与系数之间的关系

在代数中，三次多项式是指包含一个或多个变量且最高次数为 3 的多项式。它也称为三次函数。三次多项式的数学表达式可以写成

$$\mathrm{\mathit{f}(p)=mp^3+np^2+qp+r}$$

其中 p³、p² 和 p 是变量。此外，m（≠0）、n、q 和 r 是系数。

由于零点表示多项式的次数；因此，任何任意三次多项式都存在三个零点。假设 α、β 和 γ 是二次多项式的零点。三次多项式的零点与系数之间的关系总结如下。

• 零点之和 − $\mathrm{α+β+λ=\frac{-n}{m}=\frac{-(p^2 的系数)}{p^3 的系数 }}$

• 零点之积 − $\mathrm{α\times β\times λ=\frac{-r}{m}=\frac{-(常数项)}{p^3 的系数 }}$

• 零点乘积之和 − $\mathrm{ αβ+βλ+αλ=\frac{q}{m}=\frac{p 的系数}{p^3 的系数 }}$

解题示例

示例 1

计算以下多项式的零点之和与零点之积。

$$\mathrm{\mathit{f}(p)=0.25p^2-p+1}$$

解答

给定的二次多项式为

$$\mathrm{\mathit{f}(p)=0.25p^2-p+1}$$

与二次多项式的标准形式比较，得到

m = 0.25，n = -1，q =1

零点之和 = $\mathrm{\frac{-n}{m}=\frac{-(-1)}{0.25}=4}$

零点之积 =$\mathrm{\frac{q}{m}=\frac{1}{0.25}=4}$

∴ 给定多项式表达式的零点之和与零点之积分别为 4 和 4。

示例 2

计算以下多项式的零点之和与零点之积。另外，求零点乘积之和。

$$\mathrm{\mathit{f}(p)=(-27p^3)-9p^2+6p}$$

解答

给定的三次多项式为

$$\mathrm{\mathit{f}(p)=(-27p^3)-9p^2+6p}$$

与三次多项式的标准形式比较，得到

m = -27，n = -9，q =6，r = 0

零点之和 =$\mathrm{\frac{-n}{m}=\frac{-(-9)}{27}=1/3}$

零点之积 $\mathrm{=-\frac{r}{m}=\frac{0}{27}=0}$

零点乘积之和 = $\mathrm{\frac{q}{m}=\frac{6}{-27}=\frac{-2}{9}}$

∴ 给定多项式表达式的零点之和与零点之积分别为 $\mathrm{\frac{1}{3}}$ 和 0。另外，零点乘积之和为 $\mathrm{\frac{-2}{9}}$。

示例 3

计算多项式的零点 −

$$\mathrm{\mathit{f}(p)=0.5p-25}$$

解答

给定的一次多项式为

$$\mathrm{\mathit{f}(p)=0.5p-25}$$

与一次多项式的标准形式比较，得到

n = 0.5，q = -25

多项式的零点为 =$\mathrm{\frac{-q}{n}=\frac{-(-25)}{0.5}=50}$

∴ 多项式的零点为 50。

文字题

问题 1：计算以下多项式的零点之和与零点之积。

$$\mathrm{\mathit{f}(p)=1.5p^3+4p^2-7.5p+2}$$

问题 2：计算以下多项式的零点之和与零点之积。

$$\mathrm{\mathit{f}(p)=2p^2-5p-3}$$

结论

本教程简要介绍了多项式的系数与零点之间的关系。简要描述了多项式及其相关术语的基本含义。此外，还提供了一些解题示例，以便更好地理解这一概念。总之，本教程可能有助于理解多项式的系数与零点之间关系的基本概念。

常见问题

1. 如果多项式的一个根为零，则零点之积是多少？

如果多项式的一个根为 0，则零点之积为零。

2. 多项式有多少个零点？

零点的数量取决于多项式的次数。

3. 我们能否确定次数大于三的多项式的零点？

可以。我们可以通过找到次数大于三的多项式的根来确定零点。但是，计算过程冗长且耗时。

4. 如果给出零点之和与零点之积，我们能否确定多项式表达式？

可以。假设二次多项式的零点之和与零点之积分别为 α+β 和 αβ。然后可以使用以下公式获得多项式表达式

$$\mathrm{\mathit{ f}(p)=p^2-(α+β)p+αβ}$$

$$\mathrm{或 \mathit{f}(p)=p^2-(零点之和)p+零点之积}$$

5. 多项式表达式的应用有哪些？

多项式广泛应用于各个领域，包括化学、物理、数学、工程和社会科学。