SciPy - CSGraph

CSGraph 代表压缩稀疏图，专注于基于稀疏矩阵表示的快速图算法。

图表示

首先，让我们了解什么是稀疏图以及它如何帮助图表示。

什么是稀疏图？

图只是一组节点，节点之间有链接。图几乎可以表示任何东西——社交网络连接，其中每个节点都是一个人，并连接到熟人；图像，其中每个节点都是一个像素，并连接到相邻像素；高维分布中的点，其中每个节点都连接到其最近邻；以及你能想到的几乎任何其他东西。

表示图数据的一种非常有效的方法是使用稀疏矩阵：我们称之为 G。矩阵 G 的大小为 N x N，而 G[i, j] 给出节点“i”和节点“j”之间连接的值。稀疏图主要包含零——也就是说，大多数节点只有少量连接。事实证明，在大多数感兴趣的情况下，此属性都是正确的。

稀疏图子模块的创建是由 scikit-learn 中使用的几种算法驱动的，这些算法包括以下内容：

Isomap - 一种流形学习算法，需要在图中找到最短路径。
层次聚类 - 一种基于最小生成树的聚类算法。
谱分解 - 一种基于稀疏图拉普拉斯算子的投影算法。

作为一个具体的例子，假设我们想表示以下无向图：

此图有三个节点，其中节点 0 和 1 通过权重为 2 的边连接，节点 0 和 2 通过权重为 1 的边连接。我们可以构建密集、掩码和稀疏表示，如以下示例所示，记住无向图由对称矩阵表示。

G_dense = np.array([ [0, 2, 1],
                     [2, 0, 0],
                     [1, 0, 0] ])
                     
G_masked = np.ma.masked_values(G_dense, 0)
from scipy.sparse import csr_matrix

G_sparse = csr_matrix(G_dense)
print G_sparse.data

以上程序将生成以下输出。

array([2, 1, 2, 1])

这与之前的图相同，除了节点 0 和 2 通过权重为零的边连接。在这种情况下，上面的密集表示会导致歧义——如果零是有意义的值，如何表示非边。在这种情况下，必须使用掩码或稀疏表示来消除歧义。

让我们考虑以下示例。

from scipy.sparse.csgraph import csgraph_from_dense
G2_data = np.array
([
   [np.inf, 2, 0 ],
   [2, np.inf, np.inf],
   [0, np.inf, np.inf]
])
G2_sparse = csgraph_from_dense(G2_data, null_value=np.inf)
print G2_sparse.data

以上程序将生成以下输出。

array([ 2., 0., 2., 0.])

使用稀疏图的单词阶梯

单词阶梯是由刘易斯·卡罗尔发明的一种游戏，其中单词通过每次更改一个字母来链接。例如：

APE → APT → AIT → BIT → BIG → BAG → MAG → MAN

在这里，我们已经用七步从“APE”到“MAN”，每次更改一个字母。问题是——我们能否使用相同的规则找到这些词之间更短的路径？这个问题自然地表示为一个稀疏图问题。节点将对应于单个单词，并且我们将创建连接那些最多相差一个字母的单词对之间的边。

获取单词列表

首先，当然，我们必须获得有效单词的列表。我正在运行 Mac，Mac 在以下代码块中给出的位置有一个词典。如果您使用的是不同的架构，则可能需要搜索一下才能找到您的系统词典。

wordlist = open('/usr/share/dict/words').read().split()
print len(wordlist)

以上程序将生成以下输出。

现在我们想查看长度为 3 的单词，因此让我们只选择那些正确长度的单词。我们还将消除以大写字母开头（专有名词）或包含非字母数字字符（如撇号和连字符）的单词。最后，我们将确保所有内容都小写，以便稍后进行比较。

word_list = [word for word in word_list if len(word) == 3]
word_list = [word for word in word_list if word[0].islower()]
word_list = [word for word in word_list if word.isalpha()]
word_list = map(str.lower, word_list)
print len(word_list)

以上程序将生成以下输出。

现在，我们有了一个包含 1135 个有效三个字母单词的列表（确切数量可能会根据使用的特定列表而有所不同）。这些单词中的每一个都将成为我们图中的一个节点，我们将创建连接与每个单词对相关联的节点的边，这些单词对只相差一个字母。

import numpy as np
word_list = np.asarray(word_list)

word_list.dtype
word_list.sort()

word_bytes = np.ndarray((word_list.size, word_list.itemsize),
   dtype = 'int8',
   buffer = word_list.data)
print word_bytes.shape

以上程序将生成以下输出。

(1135, 3)

我们将使用每个点之间的汉明距离来确定哪些单词对是连接的。汉明距离衡量两个向量之间不同条目的分数：任何两个汉明距离等于 1/N1/N 的单词，其中 NN 是单词中字母的数量，这些字母在单词阶梯中是连接的。

from scipy.spatial.distance import pdist, squareform
from scipy.sparse import csr_matrix
hamming_dist = pdist(word_bytes, metric = 'hamming')
graph = csr_matrix(squareform(hamming_dist < 1.5 / word_list.itemsize))

在比较距离时，我们不使用相等性，因为这对于浮点值来说可能不稳定。只要单词列表中没有两个条目相同，不等式就会产生所需的结果。现在，我们的图设置好了，我们将使用最短路径搜索来查找图中任意两个单词之间的路径。

i1 = word_list.searchsorted('ape')
i2 = word_list.searchsorted('man')
print word_list[i1],word_list[i2]

以上程序将生成以下输出。

ape, man

我们需要检查这些是否匹配，因为如果这些单词不在列表中，输出将出现错误。现在，我们只需要找到图中这两个索引之间的最短路径即可。我们将使用迪杰斯特拉算法，因为它允许我们仅为一个节点查找路径。

from scipy.sparse.csgraph import dijkstra
distances, predecessors = dijkstra(graph, indices = i1, return_predecessors = True)
print distances[i2]

以上程序将生成以下输出。

5.0

因此，我们看到“ape”和“man”之间的最短路径仅包含五个步骤。我们可以使用算法返回的前驱来重建此路径。

path = []
i = i2

while i != i1:
   path.append(word_list[i])
   i = predecessors[i]
   
path.append(word_list[i1])
print path[::-1]i2]

以上程序将生成以下输出。

['ape', 'ope', 'opt', 'oat', 'mat', 'man']

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